ISSN 2269-5141

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Emmanuel Barot et Julien Servois (dir.) : Kant face aux mathématiques modernes

jeudi 3 juin 2010, par Thibaut Gress

Des mathématiques kantiennes, la plupart des lecteurs ne retiennent que le célèbre 7 + 5 = 12 et, dans le meilleur des cas, la nature schématique du nombre. C’est peu dire, donc, qu’à l’exception du débat avec Leibniz quant la réduction de la mathématique à l’analytique, le lecteur de la Critique de la raison pure ne perçoive pas immédiatement la profondeur des réflexions kantiennes autour de la mathématique. Bien que le texte kantien se prête lui-même à pareille interprétation, ce n’est que justice que d’essayer de redonner à la pensée kantienne l’étendue de la richesse de ses implications au domaine mathématique ; une telle tentative, c’est celle qu’ont menée Julien Servois et Emmanuel Barot dans un recueil d’articles intitulé Kant face aux mathématiques modernes [1] dans lequel se trouvent pas moins de six articles de taille conséquente, dont deux pour la première fois traduits de Cassirer et Natorp. Il s’agit alors de proposer, dans un premier temps, quatre articles contemporains, auxquels succèderont les deux textes de Cassirer et Natorp, lesquels avaient déjà perçu le bénéfice que l’on pouvait tirer des remarques kantiennes quant au nombre ou au continu. L’ensemble du recueil apparaît ainsi moins comme un commentaire de Kant que comme une volonté de tirer, à partir de remarques parfois succinctes, des conséquences et des concepts qui aideront à penser adéquatement des problèmes spécifiques aux mathématiques modernes.

A : Présentation des thèses en présence

L’obstacle le plus clair à la crédibilité de l’entreprise kantienne, c’est cette fameuse réduction de l’arithmétique à des jugements synthétiques a priori qui semble résumer à elle seule l’essentiel des propos mathématiques de Kant ; c’est ce que confirme Jean Petitot au début de son article : « Kant connaissait bien les mathématiques de son temps puisqu’il les a même enseignées pendant huit ans entre 1755 et 1763. Mais il ne les a pas particulièrement approfondies. On peut donc considérer à juste titre, et c’est ce que font la plupart des commentateurs, que la philosophie des mathématiques de Kant reste assez limitée et que des problèmes comme ceux du caractère synthétique d’un énoncé arithmétique tel que 7 + 5 = 12 sont dépassés. » [2] De la même manière, Hintikka et Vilkko comment leur article en remarquant que Kant est resté parfaitement aveugle aux développements de la logique de son temps, ce qui semble hypothéquer la crédibilité même de son entreprise logico-mathématique. Que pourrions-nous donc tirer à partir des textes kantiens comme pistes fécondes quant à une compréhension des problèmes que soulève la mathématique moderne ?

Il est intéressant de noter dès à présent les voies qu’ouvre Kant, et que nous signalent les auteurs. Hintikka et Vilkko écrivent par exemple : « Bref, malgré sa conception erronée selon laquelle la pure logique générale était incapable de tout développement ultérieur, Kant réussit à ouvrir la voie d’une recherche visant à assigner la force existentielle d’un jugement à l’expression du quantificateur particulier exclusivement, expression qui prit ensuite la figure familière de notre quantificateur existentiel. » [3] En d’autres termes, il s’agit de penser ce qui, chez Kant, est resté en germe, mais indiquait toutefois une voie possible et préfigurait ce qui sera un des symboles mathématiques les plus décisifs de la notion moderne. Petitot, quant à lui, voit chez Kant un formidable moyen de penser le continuum et il énonce ainsi sa thèse de lecture : « Comme forme de l’intuition, le continu est un continuum phénoménologique intuitif de nature aristotélicienne caractérisé par le « fusionnement » de ses parties. » [4] Quant à Salanskis, il propose de relire les travaux de Cantor dans une optique kantienne, dont le produit serait le suivant : « De manière kantienne, il est naturel de réinterpréter le travail de Cantor comme le dégagement d’un niveau d’intuition pure inédit, celui de l’intuition du cadre ensembliste comme tel : nous ne pouvons intuitionner le divers qu’en le soumettant à l’ensemblisation, en le plaçant dans la texture englobante du « multiple ultime ». » [5]

Voilà brièvement présentées les thèses principales des premiers articles, permettant de voir combien il s’agit bien de tirer des idées à partir de Kant plus qu’il ne s’agit de produire une exégèse de ce dernier ; c’est sans doute la seule démarche féconde pour confronter le kantisme aux mathématiques modernes. Mais il me faut préciser à présent ce que Cassirer et Natorp, bien que leur propos soit bien connu en matière mathématique, cherchent à établir à partir de Kant. Ce qui semble clair, dans le cas de Cassirer, c’est la volonté de repenser l’intuition et sa nécessité, à partir de Kant, et contre Couturat. Quant à Natorp, dont l’article est, disons-le, parfois confus, ce que reconnaît le traducteur lui-même, il cherche à montrer que toute loi logique est une position d’être et que le nombre constitue le premier moment ou la première expression du procès logique. De cette rapide présentation, quelques thèmes dominants se détachent de l’ensemble : le rapport entre logique et mathématique, la nature du nombre, le rapport à l’existence et la question du continu.

B : La position d’existence

Le premier article, qui est celui d’Hintikka et Vilkko, se propose de penser le rapport de Frege à Kant, notamment à partir d’une réflexion sur la position d’existence par le biais privilégié du quantificateur existentiel (∃). L’idée de l’article est assez simple, elle consiste à rappeler que, si Kant est resté indifférent aux progrès de la logique formelle, affirmant que ceux-ci étaient de toute façon impossibles, il a néanmoins frayé une voie pour penser la manière d’attribuer la force existentielle d’un jugement à un quantificateur particulier ; de ce fait, l’objectif de l’article consiste à montrer que si Frege et Peirce sont bien ceux qui ont théorisé le plus clairement le quantificateur existentiel, Kant en a néanmoins pensé la possibilité. Cela ne signifie nullement que, chez Kant, l’existence se définisse comme une position conceptuelle en rapport avec la réalité, et à cet égard on ne peut dire de Kant qu’il a explicitement pensé le quantificateur des jugements d’existence ; en revanche, et c’est ce que souhaite véritablement démontrer l’article, en affirmant clairement que l’existence n’est pas de type prédicatif, Kant accomplit un premier pas vers les quantificateurs, puisque l’existence n’est plus supportée par le prédicat ; voilà au fond la véritable révolution, encore contenue in nucleo dans la pensée kantienne, mais dont Frege tirera tous les bénéfices que l’on sait.

On mesure également combien la rupture avec Aristote est consommée ; chez ce dernier, en effet, l’existence était prédicative, et même si l’on trouve certaines expressions indiquant l’universalité ou la particularité, l’existence demeure de l’ordre de l’attribution, ce qui est fort bien exprimé en ces termes : « Il est crucial de noter que, bien que les expressions quantificatrices d’Aristote » pour tout » et « pour quelque » aient signifié en gros pour lui la même chose que pour nous, sa théorie ne possédait pas de quantificateurs généraux relatifs à un univers de discours donné. » [6] Kant se situerait donc à mi-chemin entre Aristote et Frege, s’éloignant d’Aristote parce qu’il aurait désolidarisé l’existence de la prédication, sans toutefois s’identifier à Frege car ne posant pas le quantificateur comme tel. D’où cette conclusion nuancée : « malgré le fait qu’il ne puisse en aucune façon être considéré comme un réformateur de la logique, Kant joua à l’arrière-plan un rôle considérable dans le développement de la logique moderne. » [7]

C : Le problème du continu

La question du continu est, sans aucun doute, une des questions les plus délicates de la mathématique moderne. Kant, percevant nettement les données du problème, va essayer de le résoudre à partir de l’intuition ; en effet, en posant une essence non compositionnelle et cohésive du continu, il va essayer de relier celui-ci à la forme de l’intuition : « Comme forme de l’intuition, écrit Jean Petitot, le continu est un continuum phénoménologique intuitif de nature aristotélicienne caractérisé par le « fusionnement » de ses parties. » [8]

Mais en disant cela, Jean Petitot poursuit des réflexions qui furent celles de Cassirer et dont le recueil nous donne quelques aperçus ; seulement il n’est pas certain que sur ce point, Petitot soit en accord avec Cassirer ; pour celui-là, en effet, le continu est une forme de l’intuition, ce qui signifie que l’intuition me donne une diversité immédiatement continue ; chez Cassirer, s’il s’agit bien de sauver l’intuition, il convient également de tirer le kantisme vers une conceptualité accrue ; de ce fait, avant toute intuition, doit être conçue la continuité elle-même, ce qui fait écrire à l’auteur des Formes symboliques que « ce n’est pas dans l’ « intuition » de l’espace ou du temps que nous avons à chercher l’explication et la fondation de la continuité. Au contraire, nous ne pouvons atteindre à une compréhension véritable du continuum spatial et temporel que si nous avons développé au préalable le concept universel de continuité, et l’avons porté à une expression logique claire. Si l’on parvenait à déployer cette conception, un domaine pour la « pensée pure » se trouverait alors conquis, domaine qui auparavant apparaissait toujours – depuis les apories de Zénon – comme sa limite et son adversaire. » [9]

Mais le déploiement d’une telle conception est-il possible, voilà la question que pose Cassirer. Il s’agit pour lui de renoncer à l’idée que le continu proviendrait de l’expérience physique, et de privilégier une détermination logique de celle-ci. Pour le dire avec les termes de Cassirer, l’idée selon laquelle le concept de continuité se formerait d’après le modèle et le type d’un continuum physique existant en quelque manière est devenue insoutenable ; que signifie alors le concept de continuité ? « il exige que la séparation et la déterminité singulière des éléments soient maintenues logiquement, en dépit de toutes les bornes sensibles de notre faculté de différenciation. Chaque « coupure » de la suite des nombres est alors pleinement séparée intellectuellement de toute autre coupure, aussi proche soit-elle : la clarté de la règle conceptuelle par laquelle nous définissons la coupure nous acquitte de ce que la sensation, aussi loin que nous voudrions étendre sa compétence, devrait toujours nous refuser. » [10]

Sur ce point d’ailleurs, on observe un certain accord entre Cassirer et Natorp puisque ce dernier cherche à assurer le continu par la pensée seule ; la pensée pure conquiert un privilège qui est celui de poser relationnellement des changements qui s’effectuent de manière continue, la continuité reposant en dernière instance sur l’unité logique. Mais ce dont on s’aperçoit rapidement, c’est que toute cette élaboration de la continuité est subordonnée à une réflexion autour de ce qu’est un nombre.

D : Le nombre

Chez Kant, le nombre est le schème de la quantité ; ce que montre fort bien Petitot, c’est le lien entre une telle définition et l’idée de continu. Il faut que la temporalité du schème – qu’est le nombre – soit synthétisée dans l’espace, afin que la successivité initiale devienne une simultanéité donnée. Cela est une manière de dire que l’espace retrouve le temps, mais uniquement à travers le nombre ; le temps se spatialise, mais cela ne se peut faire que par la médiation du schème numérique. Mais il faut se rappeler à ce moment précis que l’espace est une grandeur infinie en acte, donnée ; qu’est-ce que cela peut alors signifier ? Petitot en donne la réponse d’une manière particulièrement claire : « Ce n’est qu’une fois nombré que l’infini en acte donné dans le continu métaphysique originaire devient l’infini potentiel mathématique donné. » [11] Deux renseignements sont ici offerts au lecteur ; d’une part l’idée selon laquelle l’infini en acte doit être nombré pour être donné dans le continu métaphysique, ce qui signifie qu’il existe un lien entre la réflexion sur le continu et la réflexion sur le nombre, mais aussi que l’infini du nombre demeure potentiel tant qu’il n’est pas porté par l’espace. « L’infini du nombre est donc chez Kant un infini potentiel et il existe chez lui un jeu subtil entre l’infini actuellement donné de l’espace et l’infini potentiel du nombre comme schème. » [12]

Mais si nous généralisons ce résultat, nous voyons que le nombre, fondamentalement lié au temps chez Kant, doit être corrélé à l’intuition pure en tant que telle ; c’est ce que décrit fort bien Salanskis, réintégrant le problème à celui de l’ensemblisation. L’objet mathématique, la figure ou le nombre habite finalement l’intuition pure, et cela nous en convenons volontiers après avoir lu l’article de Petitot. Cela étant, il ne faut pas écraser les différences car, dans le cas de la figure, l’objet habite une intuition du cadre spatial lui-même, mais dans le cas du nombre, l’objet s’accomplit dans l’intuition pure comme transposition temporelle du concept et de ses relations dans l’oubli du cadre de cette transposition. « De manière kantienne, écrit Salanskis, il est naturel de réinterpréter le travail de Cantor comme le dégagement d’un niveau d’intuition pure inédit, celui de l’intuition du cadre ensembliste comme tel : nous ne pouvons intuitionner le divers qu’en le soumettant à l’ensemblisation, en le plaçant dans la texture englobante du « multiple ultime ». » [13]

Cette préoccupation de ce qu’est le nombre et du rôle de celui-ci est celle qui prédomine dans les articles de Cassirer et Natorp ; il est même possible d’y voir l’essentiel du propos de ces deux néokantiens, et un compte-rendu exhaustif serait ici illusoire. Néanmoins, il semble possible de donner quelques pistes de réflexion à partir des deux articles, notamment pour bien mettre en évidence chez Cassirer la manière dont l’interrogation sur la nature du nombre conduit nécessairement à l’interrogation sur la continuité. Reprenons la démonstration de Cassirer et appelons R la relation univoque réciproque qu’il y a entre un nombre et celui qui le suit immédiatement, alors sa relation converse Ř est donnée avec elle immédiatement (ie la relation entre un nombre et celui qui le précède). Il en va de même pour le nombre irrationnel : tout nombre irrationnel divise la classe des nombres rationnels en deux classes, A1 et A2 ; la première des deux classes contient tous les nombres les plus petits, la deuxième tous ceux qui sont plus grands que a, si bien que chaque nombre de A1 est plus petit que chaque nombre de A2 ; mais l’inverse n’est pas vrai ; c’est là que nous sommes conduits à penser la question du continu ; et au risque de répéter une même phrase, « ce n’est pas dans l’ « intuition » de l’espace ou du temps que nous avons à chercher l’explication et la fondation de la continuité. Au contraire, nous ne pouvons atteindre à une compréhension véritable du continuum spatial et temporel que si nous avons développé au préalable le concept universel de continuité, et l’avons porté à une expression logique claire. Si l’on parvenait à déployer cette conception, un domaine pour la « pensée pure » se trouverait alors conquis, domaine qui auparavant apparaissait toujours – depuis les apories de Zénon – comme sa limite et son adversaire. » Il faut avoir en tête ce lien quasi ontologique que Cassirer établit entre le nombre et la continuité.

Il devient alors intéressant d’interroger les conséquences de l’introduction des nombres transfinis cantoriens ; le premier effet qui en résulte semble être une différence entre les ensembles finis et les ensembles infinis : dans les premiers, toute partie est d’une puissance moindre que le tout. La logique de la création des transfinis en revanche repose sur la position et l’association répétées des unités considérées comme identiques que l’on prend pour base ; « le nombre v, écrit Cassirer, est aussi bien l’expression d’une quantité déterminée finie de ces positions successives que de l’association dans un tout des unités posées. » [14] Que peut-on en conclure ? Une chose, précise, à savoir que le concept de nombre ne résulte pas du dénombrement concret d’une pluralité donnée empiriquement, mais il repose sur la fonction intellectuelle générale par laquelle nous rassemblons une multiplicité en une unité, loi génératrice que nous pouvons nous représenter dans sa totalité et en une seule fois. Une fois de plus, c’est la pensée pure qui permet d’assurer la formation du nombre, et non l’intuition, bien que celle-ci soit méthodologiquement conservée. Là encore, on retrouvera chez Natorp la même volonté de penser conceptuellement le nombre, en-dehors de toute donation intuitive, et le premier paragraphe établit de manière parfaitement programmatique l’essentiel : « la relation de position ou d’ordonnancement du nombre selon l’avant et l’après s’est avérée être le caractère génétique ultime du nombre – caractère qui précède logiquement toute signification métrique. » [15]

Conclusion

C’est un recueil intéressant, malgré la très grande difficulté de l’article de Natorp qui, redisons-le, n’est pas d’une clarté absolue ; le § 5 s’avère particulièrement éprouvant, et il n’est pas certain que Natorp soit absolument au clair sur sa propre pensée à ce moment précis. L’ensemble permet toutefois de sortir d’une lecture un peu figée de la mathématique kantienne, et propose des pistes de réflexion tout à fait passionnantes. Néanmoins, une fois encore, le nombre de coquilles – environ une toutes les cinq pages – demeure anormalement élevé, et atténue nettement le plaisir intellectuel que l’on prend à découvrir les réflexions de l’ouvrage. Vrin gagnerait à véritablement mieux relire les épreuves de ses livres, les nombreuses coquilles étant devenues une habitude un peu dommageable depuis quelques années. Nonobstant ce problème, la qualité du travail effectué demeure tout à fait remarquable.

Notes

[1Emmanuel Barot et Julien Servois (dir.), Kant face aux mathématiques modernes, Vrin, 2010

[2Jean Petitot, « Mathématiques et construction », in Servois et Barot (dir.), op. cit., p. 61

[3Risto Vilkko et Jaako Hintikka : « L’influence de Kant sur le développement de la logique moderne », in Ibid., p. 35

[4Petitot, art. cit., p. 71

[5Jean-Michel Salanskis : « La salutaire objectivité des mathématiques chez Kant », in Ibid., p. 108

[6Hintikka et Vilkko, art. cit., p. 38

[7Ibid. p. 48

[8Jean Petitot, art. cit., p. 71

[9Ernst Cassirer : « Kant et la mathématique moderne, en relation aux ouvrages de Bertrand Russell et Louis Couturat sur les principes de la mathématique » (Kant Studien, Vol. XII, 1907), in Barrot et Servois (dir.), op. cit., p. 152

[10Ibid. p. 157

[11Petitot, art. cit., p. 74

[12Ibid.

[13Salanskis, art. cit. p. 108

[14Ibid. p. 160

[15Natorp, art. cit., p. 211

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