ISSN 2269-5141

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David Rabouin : Mathesis universalis

L’idée de "mathématique universelle" d’Aristote à Descartes

vendredi 21 janvier 2011, par Thibaut Gress

En 2009, David Rabouin s’est attaqué à l’histoire d’une très célèbre notion, celle de la Mathesis universalis, avec un objectif en tête : démontrer que Descartes, loin de fonder un tel concept, en recevait l’héritage mouvementé depuis Aristote et recomposait cette notion d’une manière particulière sans que cela ne signifie aucune introduction par Descartes de ce concept dans le champ philosophique. Texte s’inscrivant pleinement dans l’histoire de la philosophie, Mathesis universalis [1] constitue le premier volet d’un diptyque dont le second tome envisagera la continuité de la Mathesis universalis à partir de Leibniz jusqu’à une période que l’on peut raisonnablement qualifier de contemporaine.

A : La question initiale : l’incommunicabilité des genres

L’idée générale de Rabouin est très profondément anti-heideggérienne ; la Mathesis universalis, loin de constituer le mot d’ordre de la science moderne comme le croyait Heidegger est en réalité constitutive des grands projets métaphysiques, et ce depuis Aristote. Le projet de la Mathesis universalis, écrit Rabouin, est « consubstantiel au projet d’une métaphysique tout court (…). » [2] Pour comprendre le problème, il convient donc de remonter à Aristote et au débat qu’il entretient avec l’Académie autour de l’incommunicabilité des genres : il y a chez Platon une hiérarchie des genres et des espèces subordonnée à un genre suprême, l’Un ou l’Etre auquel participent toutes les essences. A cette hiérarchie verticale, Aristote cherche à substituer un morcellement horizontal de l’Etre, dans lequel les déterminations d’un genre se trouvent frappées d’inapplicabilité aux objets d’un autre genre : ainsi, les déterminations géométriques ont-elles été décrétées inapplicables aux objets de l’arithmétique. L’éclatement de l’Etre en catégories et genres incommunicables rend donc assez peu probable le développement, chez Aristote, d’une « mathématique universelle » qui, parce que universelle pourrait transcender la question des genres. Et pourtant, la première partie de l’ouvrage de Rabouin est consacrée à montrer que chez Aristote, notamment en Métaphysique E1 et K7, la mathématique universelle ne se trouve pas a priori rejetée et fait l’objet d’une thématisation fort élaborée.

Bref, alors même que l’arithmétique et la géométrie paraissent opposées à tout jamais, il semble qu’Aristote cherche à faire surgir de l’intérieur même des mathématiques quelque chose comme une universalité dont Rabouin restitue avec talent la problématicité de l’émergence. Le problème devient donc d’identifier la source de l’universalité à l’intérieur des mathématiques : peut-elle être la géométrie ? A cette question, Rabouin répond de manière assez érudite, non sans quelques détours peut-être forcés, avec néanmoins cette optique assez claire : il ne peut pas y avoir de source positive de l’universalité, ce qui revient à dire que s’il y a universalité dans la mathématique, cela ne peut se produire sur fond d’une univocité intégrale : au contraire, et tel est le paradoxe qui structure la première partie de l’ouvrage, l’universalité à l’œuvre dans les mathématiques devient une machine de guerre inattendue contre l’univocité platonicienne et en faveur de l’équivocité de l’Un. Le problème est que, même ainsi conçue, l’idée positive d’une universalité ne peut être réellement comprise, tant elle contrevient à d’autres principes cardinaux du Stagirite.

Avec Aristote, Rabouin découvre donc une sorte de point de départ, sans que celui-ci n’indique un problème conscient comme tel : il s’agit plutôt d’une incongruité à l’œuvre dans les textes aristotéliciens, lesquels ne font d’ailleurs pas figurer l’expression « mathématique universelle » comme telle, bien que l’interrogation sur l’universalité de la mathématique s’avère déterminante dans le rapport à l’Académie, et sans qu’elle ne subisse d’exclusion a priori. La question n’est pas marginale, mais ne reçoit pour autant pas de réponse claire, peut-être parce qu’elle ne se présente justement pas comme une question de type éminemment problématique. « On voit donc, écrit Rabouin, que ces différentes indications, loin de constituer la question de l’universel en mathématiques comme point d’exception, en font au contraire un des foyers des décisions aristotéliciennes. » [3] Mais ces décisions sont essentiellement philosophiques et ne prospèrent guère sur une réflexion qui irait au cœur des difficultés mathématiques comme telles. Il serait donc bon de quitter ce terrain qui demeure très essentiellement philosophique pour aborder une perspective plus mathématique sur la question.

B : Le médiateur : Proclus et le néoplatonisme

Après ces premières remarques sur Aristote, dont on peut à la fois admirer la maîtrise de l’auteur et déplorer une certaine tendance à ne pas répondre aux questions soulevées, Rabouin propose une excursion parmi les écrits des mathématiciens dont ceux Euclide. Et dans les Eléments, Euclide propose un élément commun à la géométrie et l’arithmétique, au sein d’un livre dont le problème principal est celui de la grandeur. La question est donc celle de savoir jusqu’à quel point la grandeur peut constituer un critère général de la mathématique. Or, remarque Rabouin, « le traitement euclidien, quelle que soit la généralité qu’on veut accorder à la « grandeur », ne se rapporte justement pas, comme celui de la démonstration logique, à des « termes » indéterminés, dont le seul trait commun serait de référer à une certaine forme propositionnelle. Son domaine d’objets est spécifié par des contraintes fortes (homogénéité et comparabilité). » [4] Bref, il est inenvisageable de faire de la grandeur ce à partir de quoi seraient spécifiés les domaines d’objets de la mathématique, ce qui nous apporte une difficulté supplémentaire.

De cette déception euclidienne, Rabouin va tirer une motivation pour aller chercher chez les néoplatonciens – en particulier Proclus – de quoi penser plus efficacement l’élaboration du problème. Mais, une fois de plus, le matériau textuel se présente dans toute sa précarité : le Commentaire au premier livre des Eléments d’Euclide, aussi décisif soit-il pour la suite, ne précise pas vraiment de l’expression constituant le thème dominant de l’ouvrage. « Quand on sait l’importance du traité de Proclus pour l’histoire de la mathématique universelle, on ne peut qu’être frappé du flou dans lequel cette notion s’y trouve maintenue. » [5] Alors, une fois de plus, il va falloir tenter une reconstitution, interpréter voire surinterpréter, et essayer de comprendre le sens de cette locution au sens indéterminé, olè mathematiké qui, tout à la fois, peut signifier la mathématique en général que la mathématique générale.

Ce qui est certain, note Rabouin, c’est que l’optique de Proclus dans laquelle se trouve élaborée cette olè mathematikè est bien plus philosophique que celle dans laquelle évoluait Aristote, lequel demeurait encore hésitant à sortir d’une réflexion spécifiquement mathématique. En outre, un tel programme n’entre pas en contradiction avec l’incommunicabilité des genres. « Loin de constituer une anomalie apparente dans le système, écrit Rabouin, elle paraît d’abord comme étroitement dépendante d’un programme philosophique offensif, avant que sa nature proprement mathématique ne soit esquissée. C’est par la théorie de l’Un et du Multiple et la position unifiante de la science de l’être qu’est assurée d’abord en creux l’existence d’une théorie unitaire des mathématiques (au chapitre IV) ; c’est par recours à la conception platonicienne de la dianoia que sont décrits sa fonction et ses pouvoirs (au chapitre VII) ; enfin, c’est par référence au rôle unificateur des principes (et de la dialectique) que Proclus s’oppose à une version faible (solution Epinomis-Eratosthène) dans laquelle l’unité serait donnée au niveau du principe opératoire transversal de l’analogia (au chapitre XIV). » [6] Le même genre de questionnement demeure, mais le sens a profondément changé car l’horizon dans lequel prend place ce programme n’est plus du tout aristotélicien.

Pour autant, Proclus ne cherche pas à élaborer des entités universelles que seraient celles de la mathématique ; le genre commun aux mathématiques ne débouche pas sur un objet universel de type mathématique ; de surcroît, il ne s’agit pas non plus de faire des mathématiques un principe fondationnel à partir duquel se déploierait l’ensemble de la philosophie. Comment donc comprendre l’importance de ce genre commun nettement accepté par Proclus s’il n’est ni fondationnel ni destiné à légitimer l’existence d’objets universels ? La réponse est claire : la mathématique révèle l’importance de l’imagination, en tant que domaine intermédiaire entre le sensible et l’intelligible, laquelle imagination se trouve sollicitée en tant qu’elle met en mouvement une représentation, en tant qu’elle déploie le concept. « En résulte une exigence bien plus profonde que celle de la simple constructivité : ce que doit exhiber le mouvement de l’imagination pour « représenter » l’activité générique de la connaissance discursive est rien moins qu’un régime logique. » [7] La logicité même de la représentation de la connaissance discursive devient sans doute l’aspect universel à partir duquel devient accessible la connaissance.

Dire cela, c’est évidemment introduire un certain nombre de jalons décisifs dans l’histoire de la philosophie : c’est d’une part relativiser très fortement l’importance de la révolution kantienne quant à l’imagination – mais il suffit de lire Ficin pour découvrir que les écrits kantiens sont à cet égard d’une très grande banalité – mais c’est surtout remettre en cause le sens du transcendantal. « Dans la mesure où le moment transcendantal a souvent été présenté comme la fin du rêve dogmatique de la mathesis universalis, il serait tentant d’insister par contraste sur la continuité qui pourrait s’établir, contre toute attente, entre ces différents moments. » [8] Soit ; à condition, bien entendu, de montrer que le sens proclusien de la Mathesis universalis puisse être interprété de manière dogmatique, ce que ne montre pas Rabouin.

C : L’oubli médiéval et le retour de Proclus

Après ces considérations antiques, où l’on s’aperçoit que la locution Mathesis universalis non seulement n’apparaît comme telle mais que, de surcroît, les problèmes qu’elle charrie ne se présentent justement pas comme des problèmes, David Rabouin effectue un saut gigantesque jusqu’à la Renaissance, délaissant la scolastique, ce qui semble signifier en creux que le programme n’a pas retenu l’attention des aristotéliciens médiévaux. Ce saut est problématique ; comment peut-on dire que la Mathesis universalis est consubstantielle à toute métaphysique si tout un millénaire de pensée philosophique en est parfaitement exempt ? Plus le livre avance, et plus cette idée d’une importance réelle de la mathesis universalis eu égard à la métaphysique apparaît précaire et surévaluée par l’introduction. Certes, Rabouin rappelle que le problème n’a pas entièrement disparu avant qu’il ne réapparaisse au XVIIème siècle puisqu’on en trouve de petites traces chez Pic, Nicolas de Cues, mais il n’en demeure pas moins que, d’une part, le monde médiéval n’y figure pas et que, d’autre part, à la Renaissance, « ces indications, qui sont intéressantes d’un point de vue historiographique, ne nous donnent pas accès à une évolution dans l’élaboration de la question elle-même. » [9]

Prenant appui sur Adrian von Roomen et Johan Heinrich Alsted, Rabouin exhibe les prédécesseurs presque immédiats de Descartes, ce qui veut dire qu’on est soudainement passé de Proclus au XVIIème siècle naissant. Ce qui est frappant, note Rabouin, c’est l’importance que revêt Proclus dans le retour de ce thème délaissé par les auteurs médiévaux. « Il est déjà tout à fait remarquable d’y voir le dispositif procléen servir de source à la renaissance du thème d’une « science mathématique commune ». Mais il est non moins remarquable que les principaux traits s’en trouvent à la fois mis en avant et repris à contresens. Ainsi l’idée d’une unité des mathématiques, dont témoignent l’existence d’une « mathématique commune » et la position d’un « sujet commun » ou « quantité imaginée » est mise en avant pour asseoir une quantitas abstracta où s’appuie éventuellement leur imperfection. » [10] La postérité thématique de Proclus s’accompagne du même geste d’une inflexion radicale, notamment à partir de la transformation de l’imagination en abstraction, loin du terrain mathématique sur lequel s’étaient élaborées les premières réflexions.

Qu’y a-t-il donc de neuf, dans l’élaboration du problème, à la Renaissance ? Cela ne peut être ni le maintien de la référence à Métaphysique E1, ni le rapport à Euclide, ni la question d’une universalité de la mathématique ; le programme se déporte vers la question de la certitude : la mathématique est-elle le modèle de la certitude ? voilà « la manière dont la question philosophique de la « science mathématique commune » est modifiée en se trouvant subordonnée à une autre question, tout à fait nouvelle : celle de la « certitude des mathématiques ». C’est elle qui gouverne les débats entre Piccolomini, Barozzi et Pereira, mais également la manière dont Ramus, puis Dasypodius y interviennent. C’est elle surtout qui permet de réveiller un certain nombre de problèmes inhérents à la question de la mathématique universelle. » [11] Cette lecture faisant de la Renaissance le moment où le programme est comme tel subordonné à la question de la certitude impose de renoncer à l’idée de Zeitgeist pour expliquer le succès de la mathématique universelle : ce n’est pas un tournant platonicien ni l’émergence de l’algèbre symbolique qui peut en rendre compte ; c’est inversement la question de la certitude qui dirige le questionnement si bien que « c’est d’abord par contagion que le thème de la « mathématique commune » semble être parvenu au-devant de la scène à partir de la seconde moitié du XVIè siècle et ce qui explique son succès paraît d’abord la profondeur de la crise qui affecte alors la « certitude des mathématiques ». » [12]

D : La difficile singularité cartésienne

La seule question qu’il reste à aborder est le sens que revêt la Mathesis universalis chez Descartes, aboutissement de ce premier volume : d’une certaine manière, avec l’apparition de la problématique centrée autour de la « certitude des mathématiques », se trouve rendue possible une forme de questionnement que l’on imagine volontiers propice à l’émergence de la singularité cartésienne. Mais en même temps, s’il y a une singularité cartésienne, elle ne pourra résider dans l’usage de la mathesis universalis comme fondation de la certitude mathématique, puisque Rabouin a fort bien montré que la Renaissance tardive avait déjà posé les termes du problème : où donc se joue la révolution cartésienne ?

La réponse traditionnelle à cette question consiste à voir dans les Regulae l’élaboration d’une méthode qui, contre l’abstraction logique des syllogismes, substituerait un modèle mathématique dont le degré de certitude devrait être ce vers quoi tendraient toutes les sciences non mathématiques. Toute la question est alors de comprendre si la mathesis universalis constitue comme telle une méthode chez Descartes. Et à cette question, la réponse de Rabouin est claire : « Que la mathesis universalis ait servi de support à l’élaboration d’une méthode est une chose, et une autre qu’elle soit la méthode, comme on l’a trop souvent induit. » [13] La démarche de Rabouin consiste dès lors à montrer que, contrairement à ce que croit la tradition philosophique, il n’y a rien de particulièrement novateur chez Descartes, qui ne fait que reprendre un certain nombre d’idées classiques de son temps : la classification supposée par l’ordre est présente chez Proclus et présente chez certains penseurs renaissants reprenant Proclus. « Quant au fait de décrire plus généralement l’unité de la mathesis elle-même (et non seulement de sa partie « universelle ») par l’ordre et la mesure, ce thème était courant dans la littérature d’inspiration néoplatonicienne. » [14]

Pourtant, il y a une originalité cartésienne, mais qui ne se situe pas là où on le pense habituellement : elle consiste à faire de la simplicité quelque chose qui n’est pas antérieure à la déduction ; affirmation étonnante, qui condamne le sujet à être tributaire des chaînes de raison pour découvrir les éléments absolus au terme de cette déduction. La simplicité est ainsi résultat et non point de départ. La lecture qu’en propose Rabouin s’inscrit nettement dans une contestation des interprétations heideggériennes, faisant de ce texte la base même de l’émergence d’une métaphysique de la subjectivité, où celle-ci assumerait un rôle désormais dominateur et sans partage. « Loin d’établir la position triomphante d’un sujet « maître et possesseur » de ses objets, et d’une mathesis universalis arraisonnant le réel dans les rets de ses déductions trop limpides, elles montrent comment le sujet en est réduit à « observer » la structure problématique des objets dans la résistance (dans les « difficultés ») qu’ils offrent à la construction. » [15] Cela veut aussi dire que la mathesis universalis ne peut être identifiée comme telle à la géométrie, mais que néanmoins elle rend possible cette dernière.

Si donc la mathesis universalis n’est ni la géométrie ni la méthode, qu’est-elle ? Il semble que la mathesis universalis rend possible la géométrie qui, elle-même, rend possible la méthode. Mais cela n’est jamais justifié, et cette absence de justification est imputable au texte même de Descartes, affirme Rabouin, ce qui ne va pas sans poser un certain nombre de problèmes car on peine à comprendre pour quelle raison Descartes maintiendrait réellement pour de simples raisons liées à la tradition une mathématique comme fondement de la méthode dont il dit par ailleurs combien cette science l’a déçu : il n’est pas certain que Rabouin cerne ici correctement le problème, la mathesis universalis n’étant sans doute pas l’angle d’attaque le plus fécond [16]. La mathesis universalis apparaît au fond chez Descartes comme le soutien permettant d’une déduction à l’autre, sans qu’un tel soutien ne soit associable à la méthode affirme l’auteur, dans la mesure où il ne s’agit pas de mathématiser les phénomènes. L’argument est étrange : ayant pris soin de distinguer la mathesis de la géométrie, Rabouin ne peut pas dissocier la mathesis de la méthode, au seul prétexte que les phénomènes ne sont pas mathématisés ; en tout cas, il ne peut pas en faire un argument car, si ce dernier était vrai, il supposerait justement une certaine identité entre méthode et mathématiques, ce que toute la partie consacrée à Descartes considère comme impossible. Au fond, ce qui devient inintelligible à l’issue de la lecture de ce livre, c’est le sens qu’il convient d’attribuer à la « méthode » cartésienne, celle-ci devenant tellement épurée qu’elle en sort exempte de toute détermination. Et pourtant la question aurait mérité un traitement à la fois plus clair et plus précis, car elle est décisive : la méthode procède-t-elle de catégories philosophiques ou de catégories mathématiques ? A cette alternative cruciale, rien de véritablement précis ne se trouve proposé.

Conclusion

Ce livre présente un indéniable intérêt en tant qu’il soulève un problème peu abordé, que la tradition a sans doute excessivement centré sur les Regulae de Descartes ; en outre, la maîtrise de l’auteur des concepts soulevés est absolument indéniable, et procure une certaine aisance de lecture pour celui qui n’est pas familier avec tous ces thèmes. En revanche, ce qui est beaucoup moins convaincant, c’est l’importance réelle du problème que Rabouin s’évertue à chaque page à restituer. Les matériaux extrêmement précaires à partir desquels est élaboré le livre jettent un certain doute sur la pertinence du problème ; l’absence de l’expression comme telle aussi bien chez Platon que chez Aristote menace l’édifice tout entier, car une fois qu’on a eu refermé le livre, il est presque impossible de se dire que cette Mathesis universalis est réellement consubstantielle à toute métaphysique. Tout se passe donc comme si Rabouin, ayant identifié un thème assez original, avait cherché à en intensifier fort artificiellement l’importance, comme pour mieux justifier la légitimité de sa propre démarche ; en outre, le livre se répète beaucoup, acculé à cette répétition par la maigreur des textes disponibles, faisant naître la lassitude à de nombreux moments.

Par ailleurs, une impression étrange se dégage de ce livre, sans doute liée à la nécessité dans laquelle l’auteur s’est retrouvé de vouloir sans cesse reproblématiser ce qui ne l’était originellement pas : à plusieurs reprises, Rabouin remarque que la Mathesis universalis n’a pratiquement jamais constitué un problème, mais est toujours apparue comme un programme : la gageure proposée consiste précisément à problématiser ce qui n’était qu’un programme dans l’esprit de ceux qui théorisaient la chose, mais cela crée une impression très artificielle de reconstruction de problèmes philosophiques qui, pour les auteurs abordés, n’existaient pas comme tels. Rabouin court donc après une tentative de créer du problème comme pour mieux intensifier une intrigue philosophique alors que ce qu’il produit réellement n’est jamais qu’une description très linéaire des différentes façons qu’ont eues les philosophes de penser le problème de l’incommunicabilité des genres à l’aune de la mathématique. Bref, Rabouin fait passer ses descriptions historiques pour des séries de problèmes motivés, ce qu’ils ne sont pas, et cela se voit.

Le mérite de l’ouvrage est toutefois réel : il est d’avoir montré combien avait été structurant le débat de Métaphysique E1 dans le cadre de l’élaboration d’une réflexion sur l’extension de la mathématique, mais il semble clair que le livre ne parvient pas à prouver que cette question est déterminante quant à l’élaboration d’une métaphysique, quelle qu’elle soit. Et, peut-être plus grave encore, s’il constate à juste titre que la question n’a jamais été aperçue par ceux qui l’ont maniée comme étant un problème, David Rabouin ne se demande jamais vraiment s’il n’était justement pas pertinent de ne pas en faire un problème philosophique réel. La notion de « problème » est sans doute efficace dans bien des cas, mais elle prend le risque de devenir un terme facile, destiné à introduire de manière factice et très scolaire une logorrhée sur des questions qui n’en méritent peut-être pas tant et qui pourraient être épuisées par une simple description historique.

Le résultat de cette impression d’artificialité est que l’on ne perçoit pas toujours bien les enjeux réels de cette histoire : il s’agit au fond de poser la question de l’autonomie - ou non - de la mathématique à penser le réel, sans l’aide de la philosophie. C’est ce conflit qui est présent chez Aristote, c’est cette possibilité qui semble émerger avec Proclus et le rôle dévolu à l’imagination qui procure un effet de réel à ce qui est pensé, et c’est donc la rivalité entre mathématique et philosophie qui aurait dû être explicitement présentée comme le problème de l’ouvrage. Or, si cela est sous-jacent à l’ensemble du propos, la trop grande importance accordée à une reproblématisation philosophique factice des thèses étudiées occulte l’aspect réellement intéressant du débat au profit d’une espèce de lecture linéaire du déploiement d’une notion qui s’avère paradoxalement, au final, bien peu mise en perspective.

Notes

[1David Rabouin, Mathesis universalis. L’idée de « mathématique universelle » d’Aristote à Descartes, PUF, coll. Epiméthée, 2009

[2Ibid. p. 25

[3Ibid. p. 58

[4Ibid. p. 100

[5Ibid. p. 141

[6Ibid. pp. 149-150

[7Ibid. p. 172

[8Ibid. p. 177

[9Ibid. p. 222

[10Ibid. p. 205

[11Ibid. p. 225

[12Ibid. p. 226

[13Ibid. p. 262

[14Ibid. p. 268

[15Ibid. p. 278

[16sur cette question, Grimaldi est bien plus convaincant : cf. Nicolas Grimaldi, L’expérience de la pensée dans la philosophie de Descartes, Vrin, 2010, passim.

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