ISSN 2269-5141

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Imre Toth : Platon et l’irrationnel mathématique

Préface de Romano Romani

dimanche 23 octobre 2011, par Thibaut Gress

C’est un véritable petit bijou que les éditions de l’Eclat viennent de publier sous le titre de Platon et l’irrationnel mathématique, sorte de testament intellectuel du grand mathématicien Imre Toth [1]. A la fois clair et érudit, précis et accessible, ce qui devait n’être qu’une synthèse du grand œuvre d’Imre Toth présente néanmoins les qualités d’un grand livre, et parvient à livrer une réflexion limpide sur les nombres irrationnels et la difficulté métaphysique du non-être. Nul besoin, ici, de disposer d’un niveau de mathématique supérieur à celui acquis au lycée pour comprendre ce dont il retourne, tant l’exposition se révèle pensée à partir de ce qu’en peut comprendre le lecteur, sans que celle-ci ne le cède à la rigueur.

Se retrouvent donc les qualités qui ont fait la grandeur d’Imre Toth (1921-2010), c’est-à-dire cette capacité si rare à allier la rigueur la plus exigeante avec la clarté la plus stupéfiante au regard de la difficulté des thématiques abordées, Toth étant un spécialiste des géométries non-euclidiennes, dont le De Interpretazione constitue sans doute le point d’orgue des analyses qu’il y consacra [2]. On ne peut donc que savoir gré aux éditions de l’Eclat de poursuivre le travail engagé en 2010 avec la publication de Liberté et vérité, dans lequel Toth exposait le primat de la liberté sur la vérité [3] ou, plus précisément, ne pensait la possibilité d’une émergence de la vérité qu’à l’aune d’une liberté intellectuelle dont il fallait toutefois se rappeler à chaque instant l’effectivité.

A : Irrationalité du nombre et dunamis : la puissance d’engendrement

D’une certaine manière, l’ensemble de l’ouvrage se présente comme une contribution à la compréhension de ce que Platon appelle l’alogos, c’est-à-dire l’irrationnel. L’alogos apparaît chez ce dernier comme une entité arithmétique autonome, indépendante de toute représentation géométrique, équivalente à ce que nous appelons aujourd’hui nombre irrationnel. Or, si la question de l’irrationnel peut se poser, c’est en raison de l’apparition d’une question difficile, portant sur la capacité à mesurer du non-mesurable. Plus précisément, l’origine probable du questionnement organisé autour du nombre irrationnel tient au problème de l’incommensurabilité de la diagonale du carré et du côté de ce dernier ; la diagonale d’un carré étant égale au produit du côté et de √2, les géomètres se trouvent confrontés assez rapidement au problème d’une propriété basique dont le maniement impose de penser l’existence de nombres qui ne peuvent en aucun cas être écrits sous une forme fractionnelle.

D’une certaine manière, la solution au problème mentionné ci-dessus que va étudier Toth se joue dans cette réponse du Théétète, au sein de laquelle Théétète expose à Socrate le problème des puissances, prenant lui-même l’initiative du questionnement, et imposant à Socrate la marche de la discussion. Rappelant une conversation antérieure avec Théodore, Théétète explique ainsi l’idée suivante : « Nous avons divisé le nombre [4] tout entier en deux : l’un, qui peut être le produit de facteurs égaux, nous l’avons représenté, pour ce qui est de sa figure, par le carré et nous l’appelons carré et équilatéral. […]. Le nombre maintenant qui s’intercale parmi le précédent – en font partie justement le trois et le cinq, et tout nombre qui ne peut être le produit de facteurs égaux, mais est soit le produit d’un plus grand par un plus petit, soit d’un plus petit par un plus grand ; et toujours un plus long et un plus court, je parle de ses côtés, l’entourent : celui-là, nous l’avons représenté par la figure oblongue, et nous l’avons appelé nombre oblong. […]. Toutes les lignes qui font, du nombre équilatéral et plan, un carré, nous les avons définies « longueur », et toutes celles qui, du nombre aux dimensions inégales, font aussi un carré, nous les avons définies puissances, en ce sens qu’en longueur, elles ne sont pas commensurables aux premières, mais le sont par les superficies dont elles sont les puissances. » [5]

Théétète [147b-148b] propose d’assigner le terme longueur (mékos) uniquement aux segments de droite commensurables ; mais pour les segments de droite incommensurables, il propose le néologisme dunamis. « Cela signifie qu’en dépit de son incommensurabilité, la propriété de posséder une mesure, une longueur sui generis, a été, malgré tout, assignée à cette grandeur, de facto non mesurable, à laquelle donc aucune longueur propre, mékos, ne peut être affectée. » [6] Comment, dans ce cadre, entendre le sens de Dunamis ? Il désigne une longueur, qui pourtant ne peut être identique à la longueur de Pythagore, comme mékos, c’est-à-dire comme possédant une longueur propre. Il convient donc de penser une nouvelle possibilité qui, tout en préservant la possibilité d’une longueur mesurable, indique toutefois une autre voie, par laquelle cette mesure ne soit pas spécifique ; c’est la raison pour laquelle la mesure ne sera pas obtenue directement, mais devra faire l’objet d’une médiation : la mesure n’est obtenue qu’au terme d’un calcul de surface plane grâce à laquelle ce qui était indicible devient dicible, puisque la commensurabilité des lignes – la diagonale du carré – s’indexe sur le calcul de l’aire du carré.

Pour le dire plus simplement, s’il est question de penser la dunamis, cela tient au fait que l’en-soi ineffable devient « effable » - terme qu’emploie Toth pour l’opposer à l’ineffable – en ceci que les lignes deviennent commensurables grâce à leur puissance d’engendrer un carré dont l’aire est exprimée par un nombre non carré. Imaginons un rectangle de trois centimètres sur deux ; sa surface serait alors de 6 cm², c’est-à-dire que sa surface est égale à un carré dont chaque côté mesurerait √6 cm. Dès lors, les lignes qui assimilent ce rectangle à la surface d’un carré ne sont autres que les côtés de ce dernier. Théétète découvre ainsi un nombre qui n’est pas un nombre carré mais se transforme en un nombre carré par le truchement d’une construction exécutée sur le plan géométrique. C’est la raison pour laquelle apparaît cette notion de miracle (thauma), puisque quelque chose comme une métamorphose contraire aux lois habituelles de la nature devient possible.

B : Transformations ontique et ontologique

Comment relier ces réflexions sur la puissance d’engendrement à quelque visée métaphysique ? Ici encore, le propos de Toth se révèle d’une grande clarté. Le miracle qu’évoquait Théétète est un miracle « tout à fait laïque et, au fond, ontologique : les facteurs égaux des nombres non-carrés sont des racines carrées, donc des nombres irrationnels dont le statut ontologique est négatif : l’impossibilité de leur existence à l’intérieur de l’univers des logoi a été rigoureusement démontrée, leur lieu ne peut se trouver qu’au-delà de l’univers du logos. » [7] Or, puisque l’univers du logos est coextensif à celui de l’être, il s’ensuit que tout ce qui se trouve en dehors des logoi est extérieur à l’être (Sophiste, 258b, Parménide, 160c). La √2 de la diagonale est donc « un savoir d’un non-être, d’un non-être pourvu, pour autant, d’une certaine propriété concrète » [8] Tel est donc le premier miracle ontologique, à savoir cette incursion au cœur même de l’irrationnel qui, dans l’ontologie platonicienne, s’assimile à une plongée au cœur du non-être sur lequel un discours est pourtant possible.

Mais à côté de cette portée ontologique se joue également une visée ontique. Il s’agit en effet de convertir un nombre non-carré (par exemple le rectangle de trois centimètres sur deux) en nombre carré : le produit de √6 par √6. « L’événement, écrit Toth, dont il s’agit est une vraie métamorphose ontique : la conversion d’un nombre non-carré, 2=1.2, en un nombre carré, 2 = √2. √2. » [9] Mais cette transformation ontique mobilise quelque chose du non-être ontologique, puisque cela revient à formuler sous forme irrationnelle la mesure des longueurs initiales. Imre Toth évoque à ce sujet l’alternative de cette racine qui ne peut être que le « nom du rien » [10] ou son propre référent, c’est-à-dire le nom de √2. Nous sommes donc face à une situation où le non-être se transmue aussitôt en être dans la mesure où une connaissance peut être assignée à du non-être, ce qui suscita l’incompréhension des contemporains de Platon. « La conception platonicienne du nombre irrationnel était tout à fait nouvelle et même choquante ; elle n’a jamais été acceptée par les géomètres grecs et a été récusée avec véhémence par Aristote. Ce non-être n’est pourtant pas le même que le vide du néant habituel. C’est, en effet, un non-être concret, investi de propriétés, un non-être qui peut être connu (…), et en dépit de sa modalité ontologique de non-être, c’est avant tout la propriété désignée par le vocable d’alogon, plus spécifiquement la propriété particulière qu’on appelle « nombre irrationnel √2 ». » [11]

C : L’environnement platonicien

L’ouvrage de Toth, s’il se consacre essentiellement au traitement platonicien de la diagonale du carré – Toth privilégie très nettement le problème de √2 –, envisage également les traitements non platoniciens du problème. Ainsi se trouvent exposés les arguments d’Eudoxe sur l’incommensurabilité, dont Toth montre admirablement combien le raisonnement selon le tiers-exclu ferme des possibilités, et réduit la complexité de la question à une simple alternative somme toute assez pauvre. « Existence ou non-existence d’une entité arithmétique irrationnelle – l’un aussi bien que l’autre des deux énoncés formellement opposés l’un à l’autre – sont absolument indécidables dans le cadre de la théorie eudoxéenne des logoi. » [12] De la même manière, la réfutation aristotélicienne se trouve restituée avec force clarté et l’on comprend comment le raisonnement par l’absurde rencontrera avec le Stagirite de dommageables limites. Aristote essaiera en effet de démontrer, par un raisonnement apagogique, la non-existence à l’intérieur de la raison du logos pythagorique, d’un nombre appelé √2 dont la multiplication avec lui-même soit égale à deux.

Le seul regret que l’on pourrait formuler à l’égard de cette comparaison de la thèse platonicienne avec celles de ses contemporains tient au manque d’élargissement historique du problème. Il semblerait que ce ne soient pas les Grecs qui aient, les premiers, envisagé la question de l’irrationalité mais bien les Indiens qui, dans des textes nommés Suba Sultras, rédigés en vers et destinés à théoriser des règles d’architecture, auraient thématisé les transformations géométriques, tant du carré en disque que de l’aire du rectangle en aire du carré. Il est dommage que Toth ne compare pas de tels textes – au demeurant magnifiques – avec ceux de Platon et, plus généralement, de l’Antiquité grecque, afin d’évaluer similitudes, déplacements et améliorations de l’intuition inaugurale.

Conclusion : un livre indispensable

Redisons-le, il s’agit d’un ouvrage d’une qualité rare, exigeant et clair, précis et accessible. La densité du texte est parfois impressionnante, mais l’auteur répète un grand nombre de fois les idées centrales de son étude, permettant ainsi à son lecteur de repérer les idées décisives qui y sont défendues et analysées. Il ne s’agit toutefois pas de prétendre que se trouve éditée pour la première fois une étude consacrée à la découverte des nombres irrationnels, les lecteurs français disposant de l’article remarquable de Desanti et celui de Freudenthal [13], mais il s’agit d’indiquer combien grandes sont la clarté et l’intelligence du propos ici défendu, et donc combien précieux peut être ce petit livre. Grâce à lui, la compréhension des enjeux charriés par l’apparition des nombres irrationnels, tant logiques qu’ontologiques, se fait accessible à l’honnête homme.

La conclusion de l’ouvrage insiste sur l’importance de la notion de crise introduite par les irrationnels ; cette découverte ne saurait être réduite au seul débat portant sur l’outil mathématique mais doit être pensée aussi selon une certaine forme méta-mathématique interrogeant les fondements de la mathématique, Freudenthal ayant exemplairement illustré ce point. La Krisis des fondements a plongé la pensée mathématique dans une vraie krisis générale, conclut Toth. Une des applications les plus sensibles de cette crise s’exprime en musique où un ton musical correspondant à √2 est impossible. Avec le √2, le langage mathématique commence à parler de ce qui n’existe pas, le langage se détache du réel, et l’expression musicale, elle-même indexée sur le langage mathématique, n’en sort pas indemne. Bref, on n’a sans doute pas fini de s’émerveiller devant cette possibilité que résume ainsi Toth : « Le sujet, appartenant de plein droit à l’être, sait le non-être, mais, par ce savoir même, il lui assigne la valeur ontologique de l’être – être présent dans le domaine du savoir. Par conséquent, le non-être est. Il se trouve dans le monde, caché dans l’intimité du Sujet qui lui confère la modalité ontique d’être-su. » [14]

Notes

[1] Imre Toth, Platon et l’irrationnel mathématique, l’Eclat, Paris, 2011

[2] cf. Imre Toth, De Interpretazione. La geometria non-euclidea nel contesto della oratio continua del commento ad Euclide, La Città del Sole, Napoli, 2000

[3] cf. Imre Toth, Liberté et vérité. Pensée mathématique et spéculation philosophique, l’Eclat, 2010

[4] des entiers positifs

[5] Platon, Théétète, 147e-148b, Traduction Michel Narcy, GF, 1995, pp. 144-145

[6] Imre Toth, Platon et l’irrationnel mathématique, op. cit., p. 43

[7] Ibid., p. 52

[8] Ibid.

[9] Ibid, p. 54

[10] Ibid., p. 55

[11] Ibid., p. 95

[12] Ibid., pp. 80-81

[13] cf. resp. Jean-Toussaint Desanti, « Une crise de développement exemplaire : la « découverte » des nombres irrationnels », in Jean Piaget (dir.), Logique et connaissance scientifique, Gallimard, Pléiade, 1967, pp. 439-464 / Hans Freudenthal, « Y avait-il une crise des fondements des mathématiques dans l’Antiquité », Bull. Soc. Math. Belge, 1966, pp. 43-54

[14] Ibid., p. 112

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