ISSN 2269-5141

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Trinh Xuan Thuan : Désir d’infini

Des chiffres, des univers et des hommes

lundi 30 septembre 2013, par Thibaut Gress

Professeur d’astrophysique à l’université de Virginie, défenseur inlassable du principe anthropique, Trinh Xuan Thuan fait partie des noms que nous associons à la science et à la vulgarisation sérieuse. Après La mélodie secrète (Fayard, 1988) ou encore Le chaos et l’harmonie (Fayard, 1998), c’est à un thème qui lui est cher, l’infini, qu’il a consacré son dernier ouvrage paru chez son éditeur historique, Fayard, Désir d’infini [1], faisant écho à L’infini dans la paume de la main publié avec Matthieu Ricard (Nil éditions, 2000). Désir d’infini se propose d’explorer les multiples facettes de l’infini, tant mathématique que physique et philosophique, le tout avec la clarté habituelle qu’on connaît à l’auteur, en dépit de quelques simplifications excessives lorsque sont abordées les questions philosophiques.

A : Définition et paradoxes de l’infini

Comment définir l’infini ? La simple question d’une définition minimale soulève déjà de dramatiques difficultés ; nous rencontrons intuitivement l’infini lorsque nous comprenons que nous pouvons toujours ajouter une unité à une quantité, mais cela n’en donne guère une définition satisfaisante. Toutefois, ce que nous pouvons sentir intuitivement avec cette première approche permet d’en proposer un embryon de définition : est infini ce qui dépasse toute limite, ce qui ne se laisse pas ramener à la quantification. L’infini, c’est ce qui est plus grand que n’importe quel nombre fini ; en réalité, dire cela, c’est ne rien dire, car c’est embrasser une certaine forme de tautologie où l’on constate qu’est infini ce qui ne se ramène pas au fini ; il est dommage que l’auteur ne creuse pas davantage cette incapacité à donner une définition absolue de l’infini, dont le nom lui-même témoigne du fait qu’il semble être pensé à partir de la négation du fini et non pour lui-même, comme si cet excès à l’égard de toute quantité, de toute mesure, le rendait intrinsèquement impensable et, par-là même, innommable.

L’une des vertus de l’ouvrage, toutefois, est de très clairement présenter les problèmes que pose l’infini, du point de vue de son existence effective ; rappelant le refus fondateur d’un infini actuel par Aristote, au profit d’un infini strictement potentiel, afin de lui dénier toute existence physique et de le confiner à la sphère mathématique, l’auteur expose avec une grande clarté les différents paradoxes de Zénon destinés à défendre – on l’oublie trop souvent – la validité des énoncés de Parménide. En effet, pour prouver que le monde est prouvé d’une unité, et qu’il procède du continu, il fallait montrer l’absurdité d’une division du temps, ce que cherche à prouver Zénon en montrant que la division – donc la brisure de l’unité – revient à décrire des conséquences absurdes, qui doivent amener à abandonner l’hypothèse initiale du discontinu et ainsi promouvoir l’unité. Par ailleurs, l’auteur explique très bien où est l’erreur du raisonnement de Zénon : « Si les paradoxes de l’infini, tels ceux de Zénon, ont vu le jour, c’est parce que les Grecs n’ont pas envisagé la possibilité que la somme d’un nombre infini de termes puisse avoir une valeur finie. Si nous acceptons le fait que le fini peut découler de l’infini, les paradoxes ne sont plus de mise : nous pouvons traverser la rue en un temps fini, et Achille peut rattraper et dépasser aisément la tortue. » [2]

Un peu moins connu, mais plus fascinant encore est le cas des séries divergentes ; par exemple, si S = 1 -1 + 1 – 1 + 1 – 1 +1…, on peut se demander quel en sera le résultat. Si on groupe les nombres 1 et – 1 en paires, alors on a S = (1-1) + (1-1) + (1-1) = 0 mais si on groupe par S = 1 + (-1 +1)…, alors le résultat donnera 1 Et si on groupe par S = 1 – (1 - 1+1 – 1 +1), on obtient le très contre-intuitif 1 – S. D’une certaine manière, cela signifie que lorsque nous avons affaire à une suite infinie divergente, le résultat dépend de la manière de compter les termes de la suite et ne semble obéir à aucune stabilité connue. Une même suite peut donner lieu à au moins trois résultats possibles qui, chacun, dépendent de la manière dont on aura mené l’opération.

B : L’infini mathématique de Cantor

Le chapitre le plus fascinant est sans aucun doute celui consacré à Cantor ; beaucoup de choses ont été dites à son sujet, et l’utilisation qui est faite des découvertes de ce dernier est bien souvent fantaisiste ; ici sont présentés sous forme une fois encore admirablement claire une grande partie de ses résultats fondamentaux concernant l’infini. L’idée centrale de Cantor peut être conçue comme une volonté d’en finir avec un infini qui ne fût que potentiel et asseoir les droits de l’infini actuel. D’une certaine manière, bien des découvertes de Cantor s’enracinent dans des éléments que Galilée avait déjà entrevus, notamment le fait que des ensembles soient égaux alors qu’ils ne semblent pas contenir le même nombre d’éléments. Par exemple, l’ensemble des carrés est infini comme l’ensemble des entiers naturels, mais il semble y avoir davantage d’entiers naturels. Toute la question est alors de déterminer ce que peut bien signifier, dans un tel cas, « être égaux » ; pour Galilée, cela signifie qu’une correspondance peut être établie entre chaque carré et chaque nombre entier : 1 ->1 ; 2 -> 4 ; 3 -> 9 ; 4 -> 16, et ainsi de suite à l’infini.

Si Galilée a déjà vu cela, que peut donc bien apporter Cantor concrètement ? « Mais, alors que Galilée se contente de souligner le paradoxe, Cantor retourne de façon géniale l’argument cul par-dessus tête. Il va se servir de la notion même de correspondance biunivoque pour définir la « taille » (ou le nombre d’éléments) d’un ensemble (les mathématiciens appellent cela le « cardinal » d’un ensemble). » [3] Traduisons cela : le génie de Cantor est de comprendre que la propriété la plus fondamentale d’un ensemble infini est qu’il peut être mis en correspondance biunivoque avec une partie de lui-même. Il démontre que tous les nombres rationnels peuvent être ordonnés et rangés grâce à une correspondance biunivoque avec des entiers positifs. Malgré la différence de densité, les ensembles possèdent la même taille.

En dépit de la clarté assez remarquable de ce passage, on peut déplorer que l’auteur minore un peu excessivement le rôle de Bolzano et de Dedekind dans l’élaboration d’une définition précise de l’infini, pour en attribuer le mérite presque exclusif à Cantor. La définition d’un ensemble comme infini s’il peut être mis en relation avec l’une de ses parties propres, provient, sauf erreur de notre part, de Dedekind et la mention de son nom à la seule page 78 de l’ouvrage nous semble un peu légère. Le traitement réservé à Bolzano est toutefois un peu plus généreux, l’auteur reconnaissant qu’il « fut le premier à frayer les voies de l’infini et à faire fleurer sur le sol mathématique la métaphysique de l’infini. » [4]

Après cela, la présentation des infinis dénombrables et indénombrables est, une fois encore très claire, tout comme la question délicate de la hiérarchie infinie des infinis, sans doute l’aspect le plus incroyable des découvertes de Cantor. Ce dernier construit la notion des cardinaux, nombre d’éléments que contient un ensemble, égal à 2n. Puis il construit une hiérarchie sans fin d’infinis de taille de plus en plus grande ; il part de א0, correspondant à l’ensemble des nombres entiers puis il considère l’ensemble P (א0) ce qui lui donne pour l’ensemble de ses parties une taille immensément plus grande, égale à 2 א0, et ainsi de suite. Mais l’ensemble de tous les sous-ensembles des nombres entiers possède exactement le même nombre d’éléments que l’ensemble des nombres réels. Le problème de tout cela est que si l’on prend les puissances de deux, il manque des nombres comme 3, 5, etc. Où sont-ils passés ? Ce problème connu sous le nom d’hypothèse du continu est une hypothèse due à Cantor stipulant que tout ensemble strictement plus grand que les entiers naturels doit contenir une copie des réels. Or Cantor échoua à démontrer la validité de son hypothèse et il fallut attendre Paul Cohen en 1963 pour établir que cette hypothèse n’était pas en l’état démontrable à partir des axiomes de la théorie des ensembles ZFC.

Cet échec de Cantor permet à l’auteur de présenter sous une forme toujours aussi claire les avancées de Gödel, et la démonstration de l’inexistence d’une procédure générale permettant de démontrer la véracité de tout énoncé mathématique. En 1931, Gödel proposa un théorème devenu fort célèbre, montrant comment un système arithmétique cohérent et non contradictoire contient inévitablement des propositions indécidables, dont on ne peut dire par le raisonnement s’ils sont vrais ou non. Et on ne peut démontrer qu’un système est cohérent et non contradictoire sur la seule base des axiomes qu’il contient ; il faut sortir du système.

C : Cosmologie de l’infini

Une des vertus de l’ouvrage de Trinh Xuan Thuan est de rappeler que la réflexion sur la réalité physique de l’infini, ce qu’Aristote appelait l’infini en acte, est fort ancienne et précède même ce dernier ; ainsi Archytas de Tarente (428-347) pouvait-il produire le raisonnement suivant : « Supposons que l’univers possède un bord. Si je suis tout près de ce bord, puis-je allonger la main au-delà de ce bord ? Il est absurde de penser que je ne le peux pas. Et, si je le peux, il doit exister un espace au-delà des limites de l’univers. Il doit donc exister un nouvel espace, au-delà de la sphère extérieure des étoiles. Et, s’il existe toujours un nouvel espace au-delà du bord, l’espace doit s’étendre indéfiniment. » (cité p. 105)

Un autre mérite est de battre en brèche l’idée reçue d’une Eglise médiévale systématiquement opposée à l’idée d’infini et de rappeler que, comme bien souvent, les choses furent plus compliquées que ne le voudrait la présentation binaire d’un affrontement science / religion. « Paradoxalement, écrit l’auteur, c’est la réintroduction de la religion dans la cosmologie qui fit progresser l’élément scientifique dans les modèles d’univers qui suivirent. La théologie chrétienne fit voler en éclats les frontières d’un univers fini pour faire à nouveau pencher la balance en faveur d’un univers infini. Les hommes d’Eglise – en particulier Etienne Tempier, évêque de Paris au XIIIè siècle – qui se penchèrent sur l’univers de Thomas d’Aquin y découvrirent progressivement certains éléments en contradiction avec la théologie en vigueur. » [5] L’univers de Thomas est fini et limité par l’empyrée, lieu de séjour divin ; on ne pouvait confiner Dieu en un endroit. Ce rappel est salutaire pour comprendre les problématiques médiévales, bien que l’on puisse déplorer le fait que l’auteur ne consacre pas une ligne à Dante et à l’organisation cosmologique de la Divine Comédie. Sur ce sujet, on pourra consulter le chapitre « l’Empyrée ciel de lumière » du beau livre de Didier Ottaviani, La philosophie de la lumière chez Dante [6]

La suite de l’ouvrage, très chronologique, propose un aperçu des grandes théories cosmologiques, de Tycho Brahé à la théorie du Big Bang. L’intérêt de l’exposé tient une fois encore à la grande clarté de la présentation qui en est faite plus qu’à son originalité. Un problème transversal, corrélatif de celui de l’infini, guide toutefois la réflexion, à savoir la question de la nuit noire : pourquoi la nuit est-elle noire ? Kepler avait refusé l’idée d’un univers infini, ce sans quoi nous aurions toujours été en plein jour et la noirceur de la nuit eût été incompréhensible puisque l’infinité des étoiles devrait émettre une lumière permanente. Abordant différentes solutions, y compris celle d’Edgar Poe, l’auteur conclut par la théorie du Big Bang permettant d’expliquer la noirceur de la nuit par le fait qu’il n’y a justement pas assez d’étoiles pour remplir le ciel de lumière.

D : Matière noire et énergie noire

Un autre rappel, tout à fait nécessaire, se trouve également proposé, à travers la distinction de la matière noire et de l’énergie noire ; il est fréquent de voir ces deux notions confondues, y compris dans certains magazines de vulgarisation scientifique, et il est bon d’en rappeler la profonde différence. Pour expliquer cela, l’auteur part de la densité critique, c’est-à-dire la densité d’énergie nécessaire à un univers isotrope et en expansion pour que sa courbure spatiale soit nulle. Pour ce faire, il faut répertorier les corps connus et mesurer leur densité, donc procéder à une sorte d’inventaire lumineux des étoiles, des galaxies, etc. Hélas pour nous, cet inventaire ne nous donne que 0, 5 % de la densité critique de l’univers. A cela s’ajoute précisément ce que Zwicky avait découvert comme étant la « matière noire », c’est-à-dire une matière sans rayonnement mais dotée d’une gravité, permettant à une galaxie de retenir ses étoiles dans un certain équilibre. Les éléments « classiques » de la matière sont les neutrons et les protons. On est obligé de dire que 24 % du contenu de l’univers ne sont pas constitués par de la matière ordinaire mais par une matière noire exotique mais ils ne constituent guère que 4, 5 % de l’ensemble ; le reste est appelé « matière noire exotique » et correspond à 24 % de l’ensemble.

Cela étant dit, la somme de toute cette matière ne nous donne que 29 % et laisse dans l’ombre 71 % de l’univers ; pour comprendre l’origine de ce substantiel reliquat, il faut avoir en tête l’accélération de l’univers : s’il contenait uniquement de la matière, qu’elle soit lumineuse ou noire, celle-ci exercerait une gravité attractive et il devrait décélérer ; donc si l’univers accélère, c’est qu’il y a autre chose que de la matière ou de la lumière pour exercer une force répulsive supérieure à la force attractive de la matière. On a rencontré cette idée avec la constante cosmologique de 1917 imaginée par Einstein à laquelle Hubble avait mis fin : or, précisément, il faut 71 % d’énergie noire pour expliquer cela. Bref, cette énergie n’est rien d’autre que ce qui permet à l’univers d’accélérer [7] et elle ne doit en aucun cas être confondue avec la matière noire qui n’est jamais qu’une matière sans rayonnement.

E : Principe anthropique

A plusieurs reprises, l’auteur cherche à montrer que la probabilité conserve son équilibre est infiniment faible ; dans des passages plus personnels et moins historiques, il y présente ses hypothèses et ses interprétations, cherchant à asseoir le mystère du maintien de l’être. Un des problèmes les plus stupéfiants est celui de la matière composant l’univers : nous l’avons dit, environ 29 % le compose ; si on multiplie par 3, 5, on obtient une géométrie plate. « C’est ce facteur 3,5 qui pose problème : il n’est ni tout petit ni démesurément grand, mais assez proche de 1. L’univers aurait pu avoir une densité des millions ou des milliards de fois plus petite ou plus grande que sa densité critique. Mais non ! Il appert que sa densité est plutôt proche de la densité critique. Nous vivons dans un univers qui est « presque » plat. » [8] D’où l’interrogation de l’auteur : « Comment l’univers a-t-il pu accomplir cette prouesse d’équilibriste ? Comment a-t-il pu ajuster si précisément sa densité initiale pour que sa densité actuelle soit si proche de la densité critique ? » [9] Ce n’est pas là le seul « miracle » qu’observe aujourd’hui la science, mais celui-ci est sans doute le plus étonnant de tous.

De manière générale, l’auteur retrouve ses interrogations sur le sens de l’univers en général et de la vie en particulier ; posant des questions fort classiques, il leur apporte des réponses qui ne le sont pas moins, et que l’on trouve comme fil directeur de toute son œuvre. « La question se pose à nouveau, écrivait-il dans Le chaos et l’harmonie : une structure aussi performante et organisée [que le cerveau] peut-elle s’expliquer par les seules lois de la physique et de la chimie ? Notre comportement peut-il être réduit à des circuits neuronaux et à des particules élémentaires ? ou faut-il derechef faire appel à des lois d’auto-organisation et de complexité, valables à un autre niveau que celui où se situent les lois de la physique des particules ? » [10] Naturellement, l’auteur répond habituellement que la physique des particules ne suffit pas à rendre compte du mystère humain, tout comme le hasard ne semble pas rendre compte du mystère de l’univers. « Je pense, écrit l’auteur, que notre capacité à comprendre l’Univers n’est pas le résultat d’un heureux hasard. Elle a été « programmée » à l’avance, tout comme l’Univers a été réglé de façon extrêmement précise, dès sa naissance, pour l’apparition de la vie. Nous ne savons pas comment nous pensons et créons, mais je ne serais pas étonné, le jour où nous connaîtrons les mécanismes de la pensée, s’il se révélait que le cerveau humain a été agence avec une minuscule précision pour que sa pensée émerge. L’existence de l’Univers n’a de sens que s’il contient une conscience capable d’apprécier son organisation, sa beauté et son harmonie. » [11]

Une telle thèse est reprise dans Désir d’infini qui conteste à nouveau le naturalisme et l’émergence contingente de l’esprit. « J’ai tout autant de mal à accepter que la tendresse d’une mère pour son enfant, la complicité qui unit un vieux couple au soir de sa vie, le sentiment de transcendance qui illumine l’existence humaine, l’extase face à la beauté, la répulsion devant la laideur, la joie et la tristesse, le chagrin et la pitié – que tout cela ne soit que le résultat de connexions neuronales dictées par les forces aveugles de l’évolution et de la sélection naturelles. Alors, l’esprit n’est-il que matière ? Je me rendrais bien sûr à un verdict irréfutable des neurobiologistes, mais, en l’état actuel de nos connaissances, je préfère de loin répondre « non ». » [12] Il va de soi que l’auteur ne peut réellement étayer son hypothèse par de solides arguments, mais il présente une sorte de refus instinctif de penser que tant d’équilibre, de beauté et d’ordre puissent être dus au seul hasard ; quelque chose comme une idée de la raison émerge au regard de ce que l’univers donne à contempler de lui-même.

Allant jusqu’à défendre le principe anthropique, Trinh Xuan Thuan considère que la science contemporaine, loin de désenchanter l’esprit, y a au contraire réinjecté l’espoir d’un sens. « Je suis plutôt d’avis que la / cosmologie moderne a réenchanté le monde. Je ne pense pas que l’homme ait émergé par hasard dans un univers qui lui est totalement indifférent. Au contraire, l’un et l’autre sont en étroite symbiose : si l’univers est si vaste, c’est pour permettre notre présence ; si l’univers est tel qu’il est, c’est parce que l’homme est là pour l’observer et s’interroger sur lui. » [13] La plupart des univers sont stériles, parce qu’incapables de fabriquer des étoiles massives ; sans celles-ci, les éléments lourds comme le carbone ne pourraient exister, un infime changement aurait tout rendu impossible. « Celui-ci a été réglé de façon extrêmement précise pour que les étoiles apparaissent et procèdent à leur alchimie nucléaire, que la vie et la conscience émergent, et que surgisse un observateur capable d’appréhender sa beauté et son harmonie. L’univers était gros de la vie et de la conscience dès ses débuts. » [14]

Pour autant, il ne faudrait pas croire que l’auteur abandonne, lorsqu’il est question du principe anthropique, toute forme de réflexion scientifique ; il conserve une démarche critique, et a pleinement conscience de la fragilité de ses hypothèses. Toutefois, bien qu’il ne le dise pas clairement, la thèse des multivers lui semble moins scientifique encore que pourrait l’être le principe anthropique. Rappelant qu’il y a une impossibilité absolue de connaître les univers qui bifurquent à cause du fait que la lumière des galaxies au-delà de la sphère horizon n’a pas le temps de nous parvenir dans les 13, 7 milliards d’années d’existence de l’univers, l’auteur s’interroge sur la scientificité de certaines hypothèses présentées comme pleinement scientifiques : « Si c’est le cas, avons-nous le droit de qualifier de scientifique le concept de multivers ? Si nous ne pouvons jamais vérifier qu’il est conforme à la nature, s’il ne peut être soumis à l’observation directe, ne relève-t-il pas plutôt de la métaphysique ? » [15] Mobilisant le critère de la testabilité, et constatant que la théorie des multivers n’est pas en l’état testable, il en vient à conclure à la non-scientificité d’une telle thèse. « La théorie du multivers échappe à cette description de la méthode scientifique, car le va-et-vient constant entre théorie et observation ne peut ici avoir lieu. Il ne peut y avoir que des observations très indirectes dans certains scénarios. Et même, à supposer que nous acceptions les observations indirectes de ces phénomènes comme preuves de cette théorie, comment être sûr qu’elles débouchent nécessairement sur l’existence d’un multivers, étant donné que d’autres explications sont possibles ? (…). L’impossibilité d’observations directes du concept de multivers constitue bel et bien son Talon d’Achille. » [16] Ainsi les thèses les moins scientifiques ne sont-elles pas celles que l’on croit de prime abord…

Conclusion

Ce livre constitue, à n’en pas douter, une excellente introduction aux problématiques de l’infini, et ce dans les domaines aussi variés que ceux des mathématiques, de la physique, de la cosmologie, des neurosciences et même de la littérature, Borges étant souvent cité comme à chaque fois que se trouve convoqué l’infini. Outre l’exposé admirablement clair de bien des théories, l’auteur présente ses propres hypothèses ou, mieux encore, ses propres croyances concernant le sens de l’univers et de la vie consciente ; connues depuis plusieurs livres déjà, de telles hypothèses n’ont pas besoin d’être partagées par le lecteur pour apprécier la qualité de l’ouvrage.

Nous pouvons néanmoins émettre deux réserves de fond sur cette entreprise. D’une part, le livre demeure très vulgarisé, et ne rentre pas dans les questions techniques des domaines abordés ; cela demeure un survol panoramique des différents problèmes et il peut, à cet égard, demeurer frustrant par sa superficialité. Naturellement, l’auteur n’a pas d’autre but que de vulgariser et il serait malvenu de lui reprocher de ne pas faire ce qu’il ne prétend pas faire, mais l’ouvrage aurait gagné à proposer différents niveaux de lecture pour ne pas frustrer le lecteur qui aurait, par exemple, déjà lu des livres du même auteur. La deuxième réserve porte sur la raison d’être de cet ouvrage : à très peu de choses près, il reprend exactement le plan, les exemples, et le contenu d’un livre paru il y a peu de temps, Une brève histoire de l’infini publié par le célèbre cosmologiste John. D. Barrow [17]. De ce point de vue, Désir d’infini n’apporte strictement rien à l’ouvrage de Barrow, si ce n’est les thèses personnelles de l’auteur, gain toutefois limité compte-tenu de la massive diffusion de celles-ci par différents supports antérieurs. Bon en soi, l’ouvrage de Trinh Xuan Thuan se révèle toutefois redondant au regard de ce qui existait déjà.

Notes

[1Trinh Xuan Thuan, Désir d’infini. Des chiffres, des univers et des hommes, Fayard, 2013

[2désir d’infini, op. cit., p. 51

[3Ibid., p. 61

[4Ibid., p. 54

[5Ibid., p. 107

[6cf. Didier Ottaviani, La philosophie de la lumière chez Dante. Du Convivio à la Divine Comédie, Champion, 2004

[7cf. à ce sujet le numéro de La Recherche d’août 2013

[8Ibid., pp. 181-182

[9Ibid., p. 182

[10Trinh Xuan Thuan, Le chaos et l’harmonie. La fabrication du Réel, Gallimard, coll. Folio-essais, 2000, p. 471

[11Ibid., p. 530-531

[12Désir d’infini, op. cit., p. 236

[13Ibid., pp. 332-333

[14Ibid., p. 336

[15Ibid., p. 319

[16Ibid., p. 331

[17cf. John D. Barrow, Une brève histoire de l’infini, Traduction Pierre Kaldy, Fayard, 2010, Hachette, coll. Pluriel, 2012

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