Dominique Pradelle : Intuition et idéalités. Phénoménologie des objets mathématiques (IV/V)

Quatrième partie

 

Être et genèse des idéalités

Passons maintenant au second ouvrage de Pradelle, consacré pour sa part au statut des idéalités mathématiques. L’interrogation y est plus ontologique et méthodologique : Pradelle demande ce qu’est une idéalité mathématique, comment elle vaut, comment elle se transmet. Au fil des démonstrations, un certain nombre de thèmes déjà rencontrés dans le premier ouvrage sont recroisés et parfois reprécisés. Nous nous efforçons chaque fois de souligner ce qu’ajoutent ou transforment ces reprises.

La question générale : quel est le statut des idéalités mathématiques

Dans quel cadre se pose la question des idéalités mathématiques ? Celui, plus large, de la vérité. Pour nous en saisir, il faut donc d’abord reprendre le fil tissé depuis saint Thomas jusqu’à Bolzano, Frege ou Lotze, de la vérité elle-même en tant qu’indépendante des sujets qui la pensent. Tel est le premier chapitre de l’ouvrage-

Chez saint Thomas, la vérité est d’abord adequatio intellectus et rei. Connaître, c’est ajuster l’intellect à la chose, selon un ordre créé et voulu par Dieu : les objets sont connaissables parce qu’ils sont déjà, dans leur être, des objets possibles de connaissance. Mais cette vérité, dans sa source, n’est pas temporelle. Elle réside éternellement dans l’esprit de Dieu, indépendante à la fois de celui qui connaît et de ce sur quoi porte la connaissance. Les vérités — toutes les vérités — sont de quelque manière omnitemporelles et atemporelles : ce qui est vrai le demeure, même si aucun esprit créé ne le pense.

Avec Bolzano, Frege et Lotze, cette intuition théologique se sécularise sans disparaître. Leur conceptualité maintient l’idée d’un régime d’être propre aux vérités, distinct à la fois du monde empirique et des consciences individuelles. Chez eux, la vérité est pensée “en général” : ce qu’est une proposition vraie en général, ce qui fonde sa vérité en général. Les vérités mathématiques ne sont dans ce cadre que des vérités parmi d’autres ; elles tirent leurs caractéristiques de celles de la vérité en général.

Par ailleurs, les auteurs ne se demandent pas comment ces vérités se donnent ni comment elles viennent à être saisies, mais seulement en vertu de quoi elles sont valides. Ils élaborent ainsi une ontologie indirecte de l’idéal, déduite du paradigme de la validité. Or, cette démarche est précisément ce que la phénoménologie prétend déplacer en demandant non pas : comment une vérité vaut-elle toujours ? Mais : comment une vérité vient-elle à se constituer comme telle, c’est-à-dire comme idéalité subsistante, ré-identifiable, transmissible, communicable, partageable entre une infinité de sujets possibles ?

La phénoménologie n’a plus affaire dès lors à des vérités en général mais des formes de vérité dont on interroge chaque fois le mode de manifestation et de validité. Que devient alors la question du statut des idéalités mathématiques dès lors qu’on ne les traite plus comme de simples cas d’a prioricité, mais qu’on les prend en vue dans leur spécificité propre ? La phénoménologie husserlienne est-elle armée pour cette question ?

Quels outils pour une phénoménologie des modes de constitution régionaux ?

Comme nous l’avons rappelé au début de ce texte, la constitution transcendantale n’est pas un modèle figé mais un mode d’interrogation s’appliquant de manière différenciée à des types d’objets distincts. La phénoménologie, en ce sens, repose sur la corrélation comme structure méthodologique. Constituer, dès lors, ce n’est pas fabriquer, mais restituer l’objet lui-même, le rendre à la clarté de son apparaître.

Existe-t-il cependant  des structures eidétiques ou génériques de la constitution comme telle ? — et comment s’adaptent-elles à chaque région d’objets ?

La question, déjà croisée dans le premier ouvrage, est ici systématiquement reprise. Quel est, demande Pradelle, le terrain paradigmatique où la phénoménologie puise ou emprunte ses concepts opératoires et la façon dont elle les transpose et les adapte ?

De fait, la phénoménologie, depuis Husserl, ne cesse d’osciller entre deux tensions, la recherche d’un modèle de constitution paradigmatique et la reconnaissance de la pluralité irréductible des modes d’évidence et des structures régionales. Pradelle en donne ici quelques exemples.

Si Derrida considérait l’objet idéal comme paradigmatique (dans la mesure où selon lui l’être s’y épuiserait dans la manifestation  – ce que l’ouvrage de Pradelle s’attache à nier), la majorité des auteurs ont fait porter ce rôle à la perception. C’est en particulier le cas de Merleau-Ponty, pour qui la perception est non seulement modèle de donation, mais source de toute donation possible. Ce primat de la perception, ajoute Pradelle, avait cependant été remis en cause par Heidegger, la perception n’étant pour lui qu’un mode second, en quelque sorte abstrait, se détachant sur fond de l’être-au-monde quand ce qui est “à portée de la main” (zuhanden), pris dans le réseau des renvois pratiques, se détache pour devenir « devant la main ».

Chez Husserl, reprend alors Pradelle, le rôle de la perception est d’abord lié à la façon dont celle-ci se donne à nous et à la façon dont la phénoménologie peut en saisir les structures. La perception constitue pour la phénoménologie un lieu d’exercice évident. Mais si elle est un modèle, la perception n’est pas pour autant une “région paradigmatique source”. Il n’existe pas, pour Husserl, de terrain absolu de la constitution (ni celui de la perception, ni celui de l’objet formel et de la mathesis universalis) mais des modes d’évidence spécifiques à chaque type d’objet. La phénoménologie est par nature régionale, aux prises avec une diversité de régions.

Pour s’y orienter, elle peut cependant s’appuyer sur deux opérateurs d’unification :

• L’idée de l’unité universelle de tous les objets, à savoir que tout ce qui est — quelle que soit sa région d’appartenance — appartient à un même monde d’expérience. Concrètement, cela signifie que les objets ne sont jamais sans rapport les uns avec les autres : ils se renvoient mutuellement, se croisent, se répondent dans une trame commune de sens. Le monde n’est pas une somme d’objets, mais un tissu corrélatif d’expériences. Autrement dit : toute région ontologique (le monde naturel, les objets culturels, les idéalités logico-mathématiques, etc.) est intégrée à un horizon unitaire d’apparaître, celui du monde vécu. Cette intégration n’est pas empirique, mais transcendantale : c’est parce qu’il y a corrélation structurale entre toutes les expériences possibles qu’il peut y avoir un seul monde.
• D’autre part, le fait que si les types d’objet communiquent entre eux, c’est parce que les actes qui les visent sont eux-mêmes liés, corrélés, hiérarchisés. Les visées de perception, d’imagination, de souvenir, de langage, de signification s’édifient les unes sur les autres, se présupposent mutuellement, et forment ainsi un réseau de compatibilités structurales. C’est cette communication entre les types d’actes qui autorise la transposition analogique : on peut transférer certaines structures intentionnelles d’une région à une autre, à condition de respecter leurs contraintes eidétiques propres.

 

La méthode du transfert analogique

 

Ce style global unitaire autorise, à condition qu’elle soit maîtrisée, la méthode du transfert analogique, empruntant les structures eidétiques d’une certaine région pour les adapter et les transposer à une autre.

 

Le concept de noème en est l’exemple le plus clair. Il constitue un élargissement et une généralisation à toutes les structures intentionnelles des contraintes d’identité rencontrées dans les visées de signification.

 

Le noème désigne le sens objectal unitaire qui traverse tous les actes visant le même objet. L’ « arbre » que je perçois, imagine, ou dont je parle n’est pas une multiplicité d’arbres : c’est un même sens objectal, décliné dans des modes d’apparition différents. Ce que je perçois, c’est cet arbre concret ; mais ce que toutes mes visées – perception, souvenir, imagination, langage – ont en commun, c’est le noème “arbre” : la dénotation idéale, la référence objectale identique de tous les actes possibles.

 

Le noème, comme référence idéale, ne peut pas brûler : il est présupposé dans le fait même de dire que “cet arbre a brûlé”. Ce n’est pas un concept ajouté par la pensée : il est déjà immanent à la perception elle-même. Le sens d’objet est structuralement impliqué dans toute visée intentionnelle.

 

Pradelle donne d’autres exemples de transferts analogiques. Dans les Recherches logiques (LU), Husserl analyse tout vécu intentionnel comme une Auffassung portant sur un Inhalt (au sens large : matière hylique, contenus signitifs, etc.).

 

• Or, dans l’analyse du temps (cf. Vorlesungen zur Phänomenologie des inneren Zeitbewusstseins), ce schème est déformé : l’« objet » visé n’est plus un corps transcendant, mais la tranche immanente du vécu ; l’« appréhension » devient articulation rétentionnelle / protentionnelle dans le flux (Fluss) ; le « contenu » n’est plus une simple hyle, mais la structuration temporelle elle-même (Urimpression – Retention – Protention). La polarité Auffassung/Auffassungsinhalt se reconstruit dans un champ où l’ « objet » n’est pas hors de la conscience mais immanent à son devenir.

 

• De même, pour le Fremderfahrung (expérience d’autrui), Husserl recourt à la Paarung (pairage / appariement) et à l’apprésentation : l’Autre est co-donné comme non-perçu mais présenté à travers son corps propre (Leib) et son style expressif (Leiblichkeit). Ici encore, des schèmes issus de la perception (intentionnalité d’horizon, co-donation, Abschattungen) sont déplacés vers un champ où le « corrélat » n’est plus un objet-chose mais un flux de conscience étranger — et la donation devient mixte : présentation / apprésentation.

 

On notera que si Alexander Schnell théorise, à partir de problématiques similaires, une phénoménologie constructive, Pradelle, lui,  reste dans la phénoménologie descriptive, mais au plus près de ses points de tension. On pourrait dire qu’il mobilise, de façon discrète, certains effets de la constructive (déplacement, reformulation du cadre), en demeurant dans un espace de manœuvre ou l’attestabilité détaillée reste possible.

Ce transfert de structures est cependant contraint, conditionnel, et implique une grande prudence afin de ne pas assimiler trop rapidement des formes de phénoménalité distinctes. Husserl note ainsi qu’il y a dans la donnée d’un vécu immanent une inadéquation tout comme dans la donnée d’un objet transcendant, mais que les deux ne relèvent pas de la même structure. Dans le vécu immanent, l’inadéquation est liée à l’incomplétude d’un flux ; dans l’objet perceptif, de la visée d’une unité à travers une multiplicité. Au contraire, les phases d’un son ne sont pas des esquisses de celui-ci. Chaque analogie implique une restitution des différences et distinctions.

 

A quelle condition transférer les structures constitutionnelles de la chose spatiale à l’idéalité mathématique ?

Comment dès lors, demande Dominique Pradelle, s’appuyer sur le terrain de la chose spatiale, sur les structures de constitution propres à la res extensa, pour les adapter et transposer analogiquement à la constitution de l’objet mathématique ? A quelle condition la perception peut-elle guider l’enquête phénoménologique sur les idéalités mathématiques ?

 

Pourquoi partir de la res extensa ?

Pourquoi ce choix méthodologique ? En refusant le terme d’intuition pour privilégier celui de remplissement, le précédent ouvrage cherchait pour sa part à rompre avec certains aspects du modèle perceptif. Le présent ouvrage cherche lui les conditions de son adaptation.

Chez Husserl en effet, la res extensa joue le rôle de modèle structurel privilégié dès qu’il s’agit d’un objet transcendant. Or, il s’agit  bien pour nous de rendre compte de la transcendance (au sens phénoménologique) des objets mathématiques. Or, la perception configure la manière spontanée dont nous pensons et comprenons la transcendance. C’est à travers elle que, dans l’attitude naturelle, nous construisons spontanément notre précompréhension du « réel », c’est-à-dire de ce qui existe indépendamment de nous.

Sur le plan méthodologique, nous l’avons déjà évoqué, la perception est pour Husserl un domaine particulièrement favorable à l’analyse phénoménologique. Elle peut être isolée, décomposée, et ses strates de sens peuvent être élucidées séparément avant d’être réarticulées dans leur unité. Husserl en propose une analyse ascendante (von unten herauf), procédant « de bas en haut », en distinguant les niveaux et couches de constitution : le niveau temporel (flux de conscience),
le niveau spatial (configuration étendue), et enfin le niveau chosique (l’unité de l’objet perçu comme chose stable dotée de prédicats).

Cependant, Pradelle met en garde : ce modèle de stratification ne doit pas être pris trop littéralement chez Husserl lui-même.

La constitution ne relève pas seulement d’en empilement de couches ou chaque strate supérieure hérite des structures de la strate inférieure.  Husserl lui-même parle d’une intentionnalité noématique : l’intentionnalité ne se borne pas à viser l’objet constitué comme chose à travers les couches intermédiaires, elle peut aussi se fixer sur celles-ci, sur les caractéristiques temporelles ou spatiales de la donation elles-mêmes. Les couches de sens empiètent les unes sur les autres. La perception chosale n’est pas indépendante des couches sociales, pratiques, relationnelles dans lesquelles l’objet est déjà pris.

Une fois que je vois le marteau comme un marteau, je ne m’arrête plus sur sa spatialité, sa texture ou sa temporalité de la même manière : tous ces caractères sont reconfigurés par la fonction d’usage qui les traverse. Le sens pratique, fonctionnel, social, requalifie la constitution des couches dites « inférieures ». La “spatialité” du marteau d’usage n’est plus celle de la forme géométrique abstraite : elle est déjà une spatialité signifiante, ajustée à la préhension et à l’action.

La constitution ne procède donc pas de manière linéaire ou additive : elle est circulaire et rétroactive. Les niveaux supérieurs (usage, langage, symbolisation) redéfinissent en retour les structures les plus élémentaires de la donation perceptive. C’est pourquoi le sens de la res extensa n’est jamais figé. Il se redéfinit sans cesse à travers les actes de niveau supérieur qui s’édifient sur sa base et la réinterprètent.

 

Une difficulté initiale : la forme même de la transcendance

La transcendance dont la res extensa est le paradigme est extérieure, située hors du flux de la conscience, dans une extériorité constituée corrélative à la perception. Elle constitue une structure intentionnelle d’apparaître. Le monde spatial est transcendant en ce sens qu’il se donne comme extérieur  La dimension du corps propre (Leib) y est donc immédiatement impliquée : c’est à travers le corps que se construit la directionnalité et la stabilité de cette extériorité.

Or, c’est précisément sur ce point que la transposition vers les objets mathématiques exige une vigilance extrême. Nous l’avions déjà souligné dans la lecture du précédent ouvrage, les entités mathématiques ne se présentent en effet pas du tout selon le même régime de transcendance : elles n’apparaissent pas comme “extérieures” de la même façon et s’avèrent au contraire étroitement liées aux actes qui les visent.  C’est pourquoi elles ont été, historiquement, le terrain privilégié des confusions psychologistes. Cependant, le refus du psychologisme ne doit pas nous conduire au platonisme « naïf ».

Comme Pradelle l’avait montré dans son précédent ouvrage, les objets mathématiques ne sont pas « donnés » à une conscience intuitive mais produits dans et par des complexes théoriques. Leur sens n’est effectif qu’à l’intérieur d’un contexte intra-théorique, c’est-à-dire d’un réseau de propositions interdépendantes qui définissent les procédures de vérification et de cohérence. Une idéalité mathématique ne s’accomplit pas dans une « vision intellectuelle », mais dans la cohérence démonstrative d’un système. C’est donc dans l’activité formelle de preuve que se joue son remplissement phénoménologique.

 

Comment alors adapter rigoureusement la structure d’horizon à la constitution des idéalités mathématiques ?

Déplions plus en détail la structure de donation de l’objet perceptif. Celle-ci est en particulier liée à la structure d’horizon, qui se déploie en horizons internes et externes, avec un primat ontologique de l’horizon interne.

Du point de vue de la visée, ce sont bien les horizons externes qui déterminent la saisie de l’objet : je le vise toujours sur fond de monde, inscrit dans un ensemble d’autres objets, de rapports, de contextes. Mais du point de vue de la donation de l’objet lui-même, ce sont les horizons internes qui assurent l’individuation et la cohérence de l’objet : ses caractères propres, sa texture phénoménale, sa continuité d’identité à travers les profils. L’objet se donne ainsi comme détachable de ses liens externes : il possède en lui-même, pour ainsi dire, la loi de son apparaître. Ce primat de l’horizon interne dans la donation perceptive est essentiel, car c’est précisément ce rapport entre horizons internes et externes qui va se modifier radicalement en passant aux idéalités mathématiques.

La structure d’horizon constitue-t-elle alors bien un modèle pertinent pour penser l’objet mathématique ? N’est-elle pas intrinsèquement inadaptée ?

Les préconceptions qui conduisent certains phénoménologues à refuser d’appliquer la structure d’horizon aux idéalités mathématiques sont anciennes. Elles prolongent la tendance à concevoir les mathématiques comme un domaine de vérités analytiques, où tout serait déjà contenu dans les définitions, ou encore à réduire l’activité mathématique à de simples chaînes de définitions, de telle sorte que les prédicats seraient inclus dans le sujet dès l’origine.

Or, cette assimilation est trompeuse.

Bolzano, dit Pradelle, nous offre précisément les moyens de rompre avec elle en distinguant rigoureusement ce qui relève du concept et ce qui relève des propriétés. Prenons l’exemple du triangle. Le concept de triangle – trois côtés, trois angles – ne contient pas en lui-même, de manière analytique, les propriétés selon lesquelles, par exemple, la somme des angles est égale à 180 degrés. Cette propriété ne fait pas partie du contenu intensionnel du concept, mais relève d’une inhérence extensionnelle découverte ultérieurement.

Autrement dit, il faut distinguer deux étapes dans l’activité mathématique : L’acte de définition, par lequel un concept est posé dans un geste originaire et instituant, comme une règle de construction ou un critère d’identité (« figure fermée à trois côtés »). L’exploration progressive de ce que cette définition implique – les propriétés, les relations, les lois qui en découlent – et qui ne sont pas données immédiatement en elle. La définition inaugure donc un sens, une possibilité d’identification et de visée de l’objet mathématique dans son identité. Mais ce sens n’épuise pas la réalité idéale de l’objet : il s’ouvre sur un horizon indéfini de propriétés implicites, qui ne peuvent être connues qu’à travers le travail démonstratif.

Ainsi, même dans le domaine formel, on retrouve une structure d’horizon : l’objet défini porte avec lui un horizon interne, celui de ses propriétés implicites, indéfiniment explorables et un horizon externe, celui du contexte théorique ou axiomatique où ces propriétés peuvent être déployées et articulées.

 

La dynamique horizontale au sein des actes perceptifs

Comment dès lors fonctionnent ces horizons ?

Dans l’expérience perceptive, les horizons ne sont pas des cadres statiques : ils se modifient dynamiquement selon un processus de considération explicitante (explizierende Betrachtung). À mesure que de nouvelles déterminations de l’objet sont découvertes, elles sont progressivement intégrées dans sa teneur de sens. Autrement dit, la perception n’ajoute pas simplement des qualités : elle incorpore les aspects nouvellement saisis dans le sens même de l’objet. Ce processus est orienté et rendu possible par ce qu’Husserl appelle la typicité, c’est-à-dire une précompréhension, une préconnaissance du mode d’apparaître de l’objet.
Je n’aborde jamais un objet comme absolument indéterminé : toute perception est déjà réglée par des attentes, des anticipations, des profils de donation probables.
C’est ce système d’anticipations, cette structure préfigurante, qui confère à l’expérience perceptive son horizon interne de cohérence.

Un schème analogue semble de prime abord se dessiner dans le développement effectif des mathématiques.

Les Éléments d’Euclide s’ouvrent ainsi sur quelques définitions initiales, posées ex nihilo : le point, la ligne, le plan, etc. Ces définitions inaugurales ont selon Pradelle une fonction sémantique : elles posent des sens premiers, des noyaux de visée. Viennent ensuite les explications des relations entre ces entités, puis les démonstrations : Ainsi, le mouvement du texte passe : d’une position de sens sémantique (la définition inaugurale), à une position d’objet (les entités définies et démontrées comme existant dans le système), puis à l’explicitation progressive des propriétés, intégrées dans la teneur d’objet au fil des démonstrations.

On peut donc, pose Pradelle, établir une analogie contrôlée. La position de sens dans la mathématique (la définition) joue un rôle analogue à la visée du noyau noématique dans la perception ; la démonstration d’existence correspond, analogiquement, à la visée  de l’objet perçu ;  enfin, les démonstrations de propriétés jouent le rôle de remplissements progressifs : elles explicitent ce que la définition portait en germe, en intégrant de nouveaux caractères à l’objet.

Mais cette analogie demeure partielle.

Dans la perception en effet, le noyau de sens et l’objet perçu demeurent identiques à travers les variations de profils. Le chêne vu de près ou de loin, de jour ou de nuit, reste le même chêne. La structure de la corrélation noético-noématique est stable : elle organise des variations possibles, mais ne se transforme pas elle-même.

Dans les mathématiques, au contraire, la structure entière peut muter. Les objets mathématiques ne sont pas seulement situés dans un horizon de propriétés à découvrir : ils sont inscrits dans un horizon historique de redéfinitions possibles. Le sens initial, l’objet existant et les propriétés démontrées peuvent être reconfigurés, voire remplacés, par de nouvelles définitions, de nouvelles structures de base. Là où la perception conserve l’identité de la chose à travers ses apparences, la mathématique transforme parfois la chose elle-même, le concept, la définition, le mode d’être de l’objet.

Pour aller plus loin dans ce sens, il faut interroger plus précisément encore les caractéristiques de la constitution horizontale, dans la perception comme dans les idéalités, de façon à ajouter des déterminations à un concept husserlien d’horizon amorphe et sous-déterminé. Husserl ne décrit en effet jamais de structure d’horizon “en général” : les horizons sont toujours horizons de quelque chose, de tel ou tel type d’objet, dans tel ou tel champ. De ce fait, la structure d’horizon elle-même est évolutive : elle se modifie avec le champ ontologique auquel elle s’applique.

Elle peut donc être profondément réélaborée pour le champ mathématique.

Par ailleurs, cette réélaboration doit aussi maintenir en lui une plasticité. En effet, la structure d’horizon est plastique au sein même d’une région donnée. L’axiomatique d’Euclide ne livre donc nullement les clés de « l’horizon intégral » des idéalités mathématiques : elle n’en constitue qu’une forme historique.

 

Le holisme de la constitution et ses structures

Soulignons une première idée importante : dans les mathématiques, à partir de quelques rares objets primitifs, tous les autres se définissent les uns par rapport aux autres. Autrement dit, et c’est absolument essentiel, le rapport entre horizon interne et horizon externe se renverse.

L’individuation n’est pas donnée par l’horizon interne comme dans la perception, et  les propriétés internes d’un objet idéal résultent de ses relations avec d’autres. Chaque idéalité se constitue dans un réseau de dépendances mutuelles,  que Pradelle nomme un holisme de la constitution : les prédicats propres d’un objet mathématique sont le résultat de l’intériorisation progressive de ses relations avec d’autres idéalités. Chaque entité mathématique est donc débordée par l’épaisseur de l’implicite : elle n’est jamais close sur elle-même, mais ouverte sur un chantier de théorisation en perpétuel devenir. Les idéalités mathématiques sont un champ de constitution en mouvement, non un système statique d’essences.

Jean-Toussaint Desanti distingue deux modes de renvoi dans la pensée mathématique : le renvoi explicite et le renvoi implicite. On peut en effet raisonner : soit à partir d’objets idéaux visés dans leur idéalité propre, c’est-à-dire les manipuler dans leur pure forme opératoire, comme des objets déjà constitués ; soit en explicitant le réseau d’objets, de définitions et d’opérations qui les sous-tendent, autrement dit en remontant à la genèse de leur constitution.

L’enjeu est alors de comprendre le rapport entre l’explicite et l’implicite dans la visée des objets mathématiques. Car ce rapport est beaucoup plus complexe que celui, chez Husserl, entre intuition et acte d’entendement. Il ne s’agit pas simplement d’un rapport de fondation – de la donnée intuitive vers la saisie conceptuelle – mais d’une structure de renvois multiples traversée par des couches de formalisation et d’apprentissage. Pour Desanti, ce rapport peut être saisi à travers les concepts d’horizon de stratification, d’horizon d’apprentissage et d’horizon d’Idéalité.

L’horizon de stratification  désigne la manière dont apparaît un objet ou un problème motivant une nouvelle élaboration, par exemple l’introduction des nombres irrationnels chez les Grecs, ou des infinitésimaux dans le calcul différentiel. Cet horizon est celui de la genèse problématique : comment surgit un problème, à travers quels concepts, dans quelle tension avec les cadres antérieurs (par exemple, la thématisation de la continuité pour traiter l’infini).

L’horizon d’idéalité correspond au domaine de généralisation où une structure dégagée dans un champ particulier peut être arrachée à ce champ, généralisée, ou transposée.

• C’est le cas, par exemple, de la structure de groupe dégagée par Galois : initialement liée à la théorie des équations, elle devient ensuite une forme d’intelligibilité universelle, applicable à des domaines très éloignés de son origine.
• De même, c’est le cas de la notion d’ensemble d’abord introduite de manière « naïve » par Dedekind[1] pour redéfinir le concept de nombre réel. « Si l’on divise les rationnels en deux classes A₁ et A₂ telles que tout élément de A₁ soit inférieur à tout élément de A₂, on appelle cette division une coupure. » « Chaque coupure détermine un nombre réel, et inversement.» Mais pourquoi ne tenir pour ensembles que des nombres, pourquoi ne pas élargir ce qu’on désigne par ensembles, jusqu’à les prendre eux-mêmes pour objets ? C’est ce que fait Cantor en se mettant à comparer la « taille » des ensembles infinis et arrivant ainsi aux notions d’ordinalité et de cardinalité. Si l’on veut comparer ou manipuler de tels objets, il faut commencer à réfléchir aux propriétés des ensembles eux-mêmes.

Qu’en est-il, maintenant, dans le champ des mathématiques axiomatisées ?

L’axiomatisation pousse à son acmé le caractère catégorial des objets — c’est-à-dire l’indétermination constitutive des notions primitives et le primat de l’horizon externe sur l’horizon interne — autrement dit, la primauté des relations sur les contenus.

Chez Hilbert, ainsi, les propositions primitives ne sont pas des définitions substantielles mais de simples désignations abstraites. Ce qu’il appelle « point », « droite », « plan », etc., ne renvoie à aucune intuition préalable, ni à aucune substance conceptuelle déterminée. Ce sont des signes vides, qui ne tirent leur sens que des formes de liaison que leur assignent les axiomes. Autrement dit, les objets sont définis uniquement par les relations qu’ils entretiennent  et chaque nouvelle relation peut redéfinir le concept lui-même.

• Ainsi, dans une théorie de type algébrique, l’opération d’addition n’est plus conçue à partir d’une signification intuitive du « + », mais comme forme de loi commutative, type de relation interne à une structure (par exemple un groupe), indépendamment de toute interprétation initiale. Le signe « + » ne désigne rien par lui-même : il acquiert son sens fonctionnel dans un système formel déterminé.
• De même, dans la théorie des ensembles. On peut certes y éviter les paradoxes en s’appuyant sur la théorie des types logiques formulée par Russell et simplifiée par Ramsey, mais celle-ci est lourde à manipuler et encombrante pour le mathématicien. En pratique, celui-ci s’appuie plutôt sur la théorie axiomatique des ensembles (Zermelo–Fraenkel), qui évite les paradoxes par une restriction sémantique sur la formation des ensembles : on ne peut jamais définir un ensemble ex nihilo : chaque ensemble est défini par rapport à d’autres, via des procédures de séparation ou de construction déjà admises.

Autrement dit : il existe une manière de définir un objet mathématique qui le rend mathématiquement maniable, c’est-à-dire inscriptible dans un système de relations cohérent.

Dès lors, l’acte qui pose un objet mathématique n’est pas un acte mental pur. C’est un acte de définition opératoire, c’est-à-dire une procédure formelle inscrite dans un cadre discursif. La constitution mathématique est ainsi procédurale : elle résulte d’un enchaînement réglé d’actes de définition et de validation.

Mais de là découle aussi une conséquence capitale : le champ même des mathématiques est potentiellement infini, ouvert à la reprise indéfinie. Toute position d’objet peut donner lieu à une reformulation, à une recontextualisation dans un cadre nouveau. Les structures de la théorie et les cadres normatifs (ceux qui décident de la formulation des propriétés et de l’admissibilité des existences) sont évolutifs, ajustés aux exigences propres des champs considérés, par exemple, selon qu’on admet ou non le tiers exclu, la récurrence, ou certains axiomes d’existence (comme celui du choix).

Pradelle, suivant Desanti, reformule ce dynamisme à travers la distinction entre deux modes d’effectivité de champs d’idéalités, désignés comme « théorie 1 » et « théorie 2 ». Le rapport à une  « théorie 1 » (c’est-à-dire un champ mathématique déjà constitué) présuppose toujours la médiation d’une autre théorie (la « théorie « ”) où s’exercent des opérations d’idéalisation et de régulation logiques, génétiques et paradigmatiques. Autrement dit, toute théorie mathématique repose, implicitement, sur un fond structural d’idéalités non thématisées, mais qui rendent possible la manipulation et la cohérence des objets qu’elle traite.

• Ainsi la géométrie euclidienne (théorie 1) s’appuie sur un sous-sol logique implicite (théorie 2) (celui de la relation de congruence et des principes d’égalité) sans lesquels elle ne pourrait pas fonctionner.
• De même, la théorie des ensembles moderne (théorie 1) présuppose un ensemble de schèmes de construction logiques et de métalangages (théorie 2) qui, eux, ne sont pas directement mathématiques mais conditionnent la possibilité de formuler ses axiomes

Ces médiations ne sont pas des abstractions vides : elles assurent la généalogie opératoire du sens, ce que Desanti décrit comme le rapport de l’explicite à l’implicite dans la constitution des idéalités.

Ainsi, l’existence mathématique ne désigne pas un être en soi, stable et préconstitué. Elle désigne plutôt un chantier évolutif, un devenir d’être au sein du champ de théorisation, pour reprendre un mot de Maurice Caveing. L’être mathématique n’est jamais donné, mais toujours en voie de constitution, en reprise, en approfondissement. Il n’y a pas de « monde mathématique » figé, mais un travail incessant du sens, où chaque nouvelle structure formelle reconfigure les précédentes et réoriente les conditions mêmes de possibilité de l’objectivité idéale.

 

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[1] R. Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschweig, Vieweg, 1872.