Dominique Pradelle : Intuition et idéalités. Phénoménologie des objets mathématiques (V/V)

Cinquième et dernière partie

 

L’omnisubjectivité comme réactivabilité de jure

Ces développements nous invitent à revenir à la question initiale : doit-on vraiment penser les objets mathématiques en les renvoyant à une omnisubjectivité ? La véritable question ne porte-t-elle pas plutôt sur les énoncés, sur la légalité des objets ; sur la validité des procédures qui fondent leur maniabilité et leur intelligibilité ?

Prenons l’exemple des idéalités anciennes, celles d’Euclide ou d’Archimède. En principe, elles sont potentiellement réactivables : nous pouvons les relire, les retravailler, les rethéoriser.

Mais en réalité, il s’agit moins d’une réactivation que d’une réinterprétation. Nous ne lisons plus aujourd’hui la méthode d’exhaustion des Grecs de la même manière depuis la découverte du calcul infinitésimal ou la thématisation de la continuité des fonctions. Les développements modernes éclairent rétrospectivement les développements anciens, les recontextualisent, en produisent une nouvelle intelligibilité.

Il serait tout aussi erroné de considérer les mathématiques antiques comme la préfiguration de nos concepts actuels. Elles nous appellent plutôt à réexpliciter les paliers de théorisation intermédiaires, d’un problème : de Riemann à Cauchy, Lagrange, Dirichlet, Euler, Leibniz, Fermat, jusqu’à Archimède. Autant de strates de sens et de pratique qu’il faut désenvelopper pour comprendre comment les problèmes étaient configurés à une époque donnée et recontextualiser les gestes et développements qui y ont été faits.

Les idéalités mathématiques autrement dit ne possèdent qu’un être transtemporel de jure ; de fait, elles peuvent seulement être saisies comme transtemporelles au sein d’une praxis.

Cette position se distingue de celle d’un rationalisme platonisant comme celui de Couturat, pour qui chaque idéalité possède en soi un sens transtemporel, garantissant la possibilité de sa réactivation intégrale.

Pour Pradelle la réactivation d’une idéalité n’est jamais pure. Elle est toujours réinvention, dérive, perte et cassure. Archimède n’est pas intégralement lisible à Riemann, pas plus que la géométrie grecque ne se confond avec sa reconstruction moderne. Chaque reprise opère une déformation signifiante du sens ancien, une transposition de l’horizon dans un nouvel espace théorique.

Cette dimension chez Desanti renvoie à l’idée de communauté pratique transtemporelle : l’idéalité n’est pas éternelle, mais la praxis mathématique est tout entière hantée par une norme archaïque qui régule la constitution des idéalités à travers les époques. Le sujet de la mathématique n’est pas un esprit transcendantal intemporel, mais une praxis collective inquiète, travaillée par un souci commun.

Pour Pradelle cependant, cette idée pèche par un trop grand degré de généralité. Il faut interroger de manière plus concrète la structure et la texture de l’espace épistémique constitué par les mathématiques

• Cela signifie décrire la structure concrète de connexité qui unit les concepts dans cet espace et comment les idéalités anciennes appartiennent à ce que Pradelle appelle l’horizon de stratification des nouvelles, pas simplement réactivées, mais intégrées comme moments de profondeur dans le champ actuel de la cognoscibilité.
• L’espace épistémique des mathématiques permet par ailleurs des rapports de proximité et d’éloignement, par des continuités et des discontinuités historiques, formelles, opératoires. Chaque époque mathématique, dit Pradelle, se déploie comme un milieu de travail, où les problèmes ouverts, les formes de notation, les cadres de démonstration et les normes de rigueur préparent des virtualités. Il existe donc une proximité épistémique, non dans le contenu des théories, mais dans la configuration des conditions de possibilité données au mathématicien d’une époque : la manière dont un champ de recherche rend certaines positions possibles, pressenties, ou à peine esquissées.

De l’horizon à la métaphore et au symbolique : les objections de Pierre Lochak

Décalons-nous cependant ici un instant par rapport aux élaborations de Pradelle en introduisant certaines questions soulevées par Pierre Lochak. Celles-ci constituent en effet des incitations stimulantes pour élaborer davantage encore le concept d’espace épistémique.

Celui-ci emprunte en effet au mathématicien Yuri Ivanovitch Manin l’idée que les mathématiques consistent en métaphores[1] : Alexandre Grothendieck, explique Lochak nous aurait « transportés » ou aurait permis « de transporter (alias et littéralement, métaphorisé) des mots comme : « espace », « point », « bord » et d’autres. »

Ces transports, souligne Lochak peuvent cependant considérablement transformer les termes transportés. L’usage de termes comme horizons ou espace épistémique risque de conduire à sous-estimer l’ampleur et le mode de ces transformations, et les angles qu’elles peuvent prendre. Les objets mathématiques se reconfigurent fortement. Lochak donne en particulier l’exemple de la première page du premier tome des SGA de Grothendieck, intitulé : « Notions de calcul différentiel » mais en un sens radicalement différent  de ce qui s’enseigne dans les premières années d’université sous le nom de calcul différentiel.

Pour Lochak le point essentiel ici (nous y reviendrons plus loin) est que l’espace d’invention mathématique n’est pas seulement épistémique et prend d’autres appuis que des théorisations antérieures dont il reprendrait certains éléments structuraux ou certaines directions : les mots eux-mêmes, les images, les concepts associés, le réseau théorique non mathématique (symbolique, philosophique, religieux) dans lequel s’inscrivent les termes et les problèmes (par exemple celui de l’espace, ou de l’infini) sont de puissants moteurs de transports. Grothendieck ainsi « permet à un concept comme celui d’espace de franchir la frontière entre « imaginaire » et « symbolique »[2] » : pour comprendre la nature et la portée de ce transport, il faudrait s’enfoncer dans des territoires théoriques relevant tout autant, par exemple de l’herméneutique.

Ces métaphores, ajoute encore Lochak, sont « durcies au feu », « s’empilent sans s’effondrer », et la question est précisément de comprendre pourquoi[3]. Tel est selon nous précisément le point où les perspectives de Lochak et de Pradelle pourraient trouver à s’articuler. Avec la notion de métaphores, Lochak insiste sur l’ampleur et la portée des déplacements en mathématiques. La question de leur durcissement, de leur reprise dans un corpus théorique, remobilise, elle, les concepts d’espace épistémique et d’horizon explorés par Pradelle. Elle mobilise sans doute également, ajouterons-nous, les questions posées par Pradelle dans le précédent ouvrage : celle des procédures de « remplissement » à partir desquelles les mathématiciens estiment qu’un objet, un cadre, une structure, sont suffisamment stabilisés pour devenir disponibles au travail théorique.

Lochak prolonge par ailleurs sa thèse en soulignant que pour lui, l’histoire des mathématiques n’est pas seulement celle de la rationalité. Le mathématicien n’intériorise pas seulement des opérations noétiques : il est pris dans un vaste cadre historico-socio-symbolique : pour Lochak « la véritable science est rare et fragile » ; «  deux ingrédients sont nécessaires, qui de fait sont très rarement réunis : d’une part une forme d’herméneutique. (…) est aussi nécessaire une forme d’esthétique, c’est à dire de rapport à l’espace et au temps, d’aucuns diront de maîtrise, de ces formes a priori de la sensibilité[4] ». Ce qui a « manqué » par exemple à Al-Biruni et à ses successeurs pour développer leur compréhension des infinitésimaux dans le sens qui sera celui de Galilée n’est pas lié à une poussée intrathéorique : derrière Galilée s’étend aussi tout un arrière-plan philosophique (le néo-platonisme renaissant, cusain, plusieurs siècles de scolastique mais aussi de théologie).

Une mise à l’épreuve directe de cette idée serait de reprendre un exemple évoqué par Pradelle (par exemple Dedekind ou Cantor) et de se demander si l’élaboration du concept d’ensemble ou le transport de la notion d’infini s’inscrit seulement dans un cadre intra-mathématique, ou présuppose aussi d’une certaine façon un arrière-plan philosophique ou théologique.

Nous interromprons ici ces remarques encore programmatiques et renvoyons pour leur approfondissement à notre long entretien avec Pierre Lochak. Leur intérêt est de nous montrer en tout cas que le concept d’espace épistémique introduit par Pradelle demeure à élucider davantage, au contact avec la pratique mathématique vivante.

 

La récusation du modèle Husserlien du formel

Revenons maintenant au texte de Pradelle.

En continuité de son précédent ouvrage, celui-ci remet en cause la tendance de Husserl à vouloir appuyer la logique et les mathématiques sur des intuitions de notions primitives  et de catégories formelles (comme unité, pluralité, totalité, etc.) qu’on obtiendrait par réflexion sur les actes intuitifs (actes de compter, de juger, de relier). De telles catégories, il faut le répéter, n’ont de sens qu’en tant que produites dans des complexes théoriques et ne constituent pas un mobilier de base.

Sur ce point, suggère Pradelle, la voie frégéenne est plus féconde pour comprendre l’intrathéoricité. La constitution catégoriale s’attache ainsi à un sol déjà théorique, et se détermine directement au niveau noématique. Autrement dit, la constitution des idéalités ne s’élucide jamais par réflexion sur les actes, mais par un détour, un fil indirect : celui du langage et de l’emploi des mots. Leur position est toujours médiée par un milieu pré-théorique, intra-théorique ou langagier, au sein duquel leur signification prend forme et s’éprouve.

L’exemple de Dedekind est ici particulièrement éclairant. Lorsqu’il élabore ses premières réflexions sur les ensembles, il ne le fait nullement à partir d’une expérience sensible, mais à partir de considérations arithmétiques internes. Les ensembles apparaissent d’abord dans le cadre d’une problématique proprement théorique, issue de la nécessité de formaliser la notion de succession et de correspondance entre nombres. Autrement dit, les ensembles ne sont pas dérivés du sensible, mais pré-thématisés à partir d’un milieu conceptuel et langagier déjà constitué.

C’est cette élaboration intra-théorique que la phénoménologie doit s’appliquer à élucider.

Pour comprendre une opération comme celle d’application ou de correspondance, il devient en effet nécessaire de thématiser expressément la notion abstraite d’ensemble quelconque et les opérations valables sur ces ensembles. La théorie des ensembles ne surgit donc pas d’un acte inaugural de fondation, mais d’un processus de reprise et de réélaboration progressive. La formalisation n’est pas un acte unique et univoque, un passage soudain du concret à l’abstrait ou du sensible au catégorial. Elle implique au contraire une pluralité de paliers de formalité et de niveaux de catégorialité.

Pour ressaisir ce mouvement, écrit Pradelle, la phénoménologie doit expurger ses concepts de la perspective implicitement aristotélicienne dans laquelle Husserl inscrit sa pensée du catégorial, opposant formalisation et généralisation. Chez Husserl, les déterminités analytiques formelles se soustraient à toute dérivation méréologique : elles ne sont pas de simples “généralités ultimes” ni des essences communes abstraites à partir d’exemples empiriques. C’est là, dit Pradelle, la trace explicite de la thèse aristotélicienne selon laquelle l’Être n’est pas un genre. Pour Husserl, on passe au formel par un acte d’abstraction stricte. Le formel est un domaine en soi, avec ses objets et ses structures de base

Or, pour Pradelle, ce schéma est intenable.

L’analyse concrète de la pratique mathématique le montre, le sujet est toujours déjà immergé dans un formel relatif (qui ne procède pas d’une eidétique du sensible, d’une procédure de généralisation d’essences matérielles), dans des structures de formalité qui s’élaborent par paliers. La formalisation n’est pas issue d’une abstraction unique, mais d’un processus de clarification, de déplacement, de requalification du formel par lui-même[5].

Cette idée semble trouver des échos dans d’autres élaborations théoriques, en particulier, dit Pradelle, le concept carnapien de définition. Mais, ajoute-t-il, le cadre carnapien ne permet de décrire que la traductibilité des énoncés, et non leur engendrement effectif. Carnap vise à ramener tout énoncé à d’autres énoncés plus simples, (par exemple en reconduisant le concept de cardinal au matériau conceptuel minimal à partir duquel il peut être défini). Il ne s’interroge pas sur le processus de constitution effectif par lequel de nouvelles idéalités surgissent. Son approche pense les rapports de significations, non les idéalités comme objets de travail. Elle ne nous permet pas de comprendre comment une même idéalité peut être rethématisée, c’est-à-dire reprise dans un nouveau cadre théorique, acquérant par là une nouvelle légalité interne.

Or c’est précisément ce que permet d’observer la pratique mathématique :
la notion d’ensemble, par exemple, se transforme lorsqu’elle passe des ensembles naïfs utilisés dans l’arithmétique à la théorie axiomatique des ensembles.

Les idéalités mathématiques, conclut Pradelle, loin d’être des entités pures et immuables, sont toujours visées depuis un certain horizon théorique, historiquement situé. Chaque idéalité existe dans un entre-deux : elle est motivée par un contexte de développement et par des problèmes hérités mais aussi vectorisée par le potentiel interne de sa structure émergente, qui appelle des prolongements, des reformulations, des transferts.

 

La stratification husserlienne du formel et sa réinterprétation

Comment la phénoménologie peut-elle alors opérer pour expliciter cette constitution stratifiée ?

Repartons, dit Pradelle, de l’exemple de l’objectivité mondaine et reprenons plus en détail la question du sens de sa stratification afin de mieux comprendre les enseignements que nous pouvons tenter de transposer au champ mathématique.

• Celle-ci se comprend d’une part selon la loi de stratification verticale déjà évoquée; du temps à l’espace, de la spatialité à la corporéité, puis aux couches pratiques et culturelles. Chaque strate supérieure se détermine partiellement à partir de la précédente : les structures du temps conditionnent celles de l’espace, qui conditionnent celles du corps, etc.
• Mais cette hiérarchie n’est pas unidirectionnelle : elle est contrebalancée par un entrelacement de fait, car les strates supérieures modifient rétroactivement celles qui les fondent. Comme nous l’avons souligné, les significations culturelles et techniques, par exemple, transforment notre expérience perceptive du monde physique.
• En d’autres termes démantèlement et « remantèlement » sont des opérations méthodologiques. La phénoménologie se déploie selon un mouvement en zigzag : on remonte les couches du sens pour en dégager les structures fondamentales, puis on redescend pour en ressaisir l’unité concrète, ou vice versa, selon la nature, les contraintes, le degré d’élaboration du problème considéré.

Dans le champ des idéalités mathématiques, rappelons-le, la stratification se constitue des trois niveaux, exposés en détail lors du commentaire du précédent ouvrage, de la morphologie pure des jugements, la logique de la validité, la logique de la vérité. Chaque niveau, nous l’avons vu, se révèle au contraire variable et intriqué avec les autres. La syntaxe n’est pas un matériau eidétique premier, donné d’avance et garantissant la possibilité du sens et de la déduction : il n’y a pas de « matériau syntaxique » originaire, mais seulement des fonctions syntaxiques exercées par des idéalités à l’intérieur d’un champ de formalisation. Par exemple, les opérateurs syntaxiques (signes, connecteurs, règles d’inférence) ne sont pas des formes pures, mais des rôles joués par certains objets formels dans un système donné, dont les fonctions peuvent changer d’identité selon le contexte théorique.

Dans le précédent ouvrage, Pradelle s’interrogeait sur la validité, via le remplissement, pour chaque couche. Dans celui-ci, c’est la question de la constitution qu’il aborde.

1. a) Comment le mathématicien constitue-t-il les objets de la morphologie ?

Pour la pratique mathématique, le niveau morphologique correspond à la recherche des expressions bien formées : la mise en évidence des formes fondamentales, des formes primitives et des opérations. Pradelle, suivant Becker, souligne que ce niveau implique un principe de construction. Autrement dit, la syntaxe mathématique ne consiste pas simplement en un ensemble de signes, mais en procédures de formation, régies par des conditions finitistes : chaque opération doit être répétable et effectivement exécutable.

Pradelle ajoute que cette structure constructive suppose en retour une accessibilité noétique. On ne dit pas conceptuellement ce qu’est le nombre, mais comment calculer ; on ne dit pas ce qu’est l’ensemble, mais comment opérer sur des ensembles.

Ce niveau demeure donc arrimé à des conditions psychologiques minimales, liées à la temporalité de la conscience et à la capacité de répéter des actes de calcul. Il correspond au plan du faire mathématique élémentaire, où l’activité de la pensée opère directement sur des configurations manipulables.

1. b) La logique de la validité

Au niveau de la logique de la cohérence et de la non-contradiction, on quitte le terrain constructif pour entrer dans un registre axiomatique. Ce que l’on constitue ici, ce ne sont plus des entités manipulables, mais des systèmes de relations : des structures de validité interne. Le critère central n’est plus la manipulabilité, mais la consistance. Ce qui importe, c’est que les inférences soient non contradictoires et déductivement analytiques.

• Dans ce domaine, le sens conceptuel du nombre entier est, par exemple, fixé par les cinq axiomes de Peano, qui déterminent les propriétés minimales de tout système arithmétique cohérent.
• De même, le sens conceptuel du terme ensemble est défini par les axiomes de Zermelo (dans les Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre), qui circonscrivent les opérations admissibles et les conditions d’existence des ensembles.

Cependant, dans les faits, ces systèmes ne sont pas donnés d’un seul coup (nous l’avons vu en détail plus haut). Il existe un écart entre cohérence syntaxique et cohérence sémantique : la vérification de la consistance passe par des modèles, des théorèmes de complétude et des preuves relatives.

La constitution n’implique pas ici des objets noétiquement manipulables mais des procédures pensables.

L’exemple classique, souligne Pradelle, est celui de l’axiome du choix et des débats qu’il a suscités. Des mathématiciens comme Borel ou Lebesgue s’opposaient en effet à son introduction, car celui-ci conduit à postuler l’existence d’objets absolument non manipulables (comme un ensemble de choix complet). Pour Hadamard au contraire, la question n‘était pas celle de la manipulabilité subjective (« pouvons-nous effectivement bien ordonner ? ») mais de la possibilité de penser objectivement « sans contradiction un ensemble comme bien ordonné ».

Un objet non manipulable psychologiquement mais pensable sans contradiction est légitime du point de vue de la logique de la conséquence, même s’il échappe à toute construction effective.

1. c) La logique de la vérité

Au niveau de la logique de la vérité, l’attention ne porte plus seulement sur la cohérence générale du système, mais sur la manière dont les principes logiques deviennent des principes inférentiels, c’est-à-dire des règles de transfert de vérité entre énoncés. C’est ici le champ le plus familier de la pratique mathématique effective, et de ses inventions.

Pradelle le soulignait déjà dans le premier ouvrage, il y a à ce niveau une inventivité propre, appropriée aux domaines. Le théorème de Löwenheim-Skolem montre que le plan sémantique corrélatif aux systèmes formels reste toujours en défaut vis-à-vis du plan ontologique des objets idéaux. Ce défaut permet à la mathématique en acte de reprendre le dessus sur l’axiomatisation. Or, cette mathématique en acte s’effectue au sein de structures enchevêtrées d’horizons et non comme manipulation de simples variables d’un langage formel. La question phénoménologique de la constitution s’y pose de façon éminente : c’est en elle que la perspective de Pradelle prend tout son sens et tout son poids, en rupture avec les approches purement formelles.

Quelle constitution pour les idéalités mathématiques ?

Revenons alors plus précisément à la question du mode d’être de ces idéalités mathématiques et de ce dont rend compte leur constitution. Il faut ici resouligner certaines différences fondamentales avec le mode de constitution des objets perceptifs.

Toute constitution implique bien une synthèse d’identification, mais, dans le cas des objets idéaux, cette synthèse ne s’opère pas sur la base d’une constitution passive, c’est-à-dire d’une simple synthèse de ressemblance comme dans la perception.
L’objet idéal ne se donne pas par association d’impressions sensibles, mais par un acte de construction et d’idéalisation qui introduit dans le champ du sens une nouvelle forme opératoire.

 

Quelle est alors la portée ontologique de cette constitution ? Constituer un objet mathématique, est-ce apprendre à l’utiliser (dans un sens gnoséologique) ou le faire être (dans un sens ontologique) ?

Voyons concrètement comment s’effectue l’introduction d’une idéalité mathématique. Certaines situations sont typiques : par exemple, l’engendrement de nouveaux objets par adjonction – au sens algébrique ou analytique – d’éléments idéaux. Une idéalité naît souvent d’une formule symbolique, à laquelle s’ajoutent des règles de calcul compatibles avec le système existant.

 

• Le cas paradigmatique est celui du nombre imaginaire, puis du nombre complexe. Historiquement, le symbole i apparaît dans les travaux de Cardan au XVIᵉ siècle, au sein de procédures de résolution d’équations cubiques. Au départ, il s’agit d’un artefact de calcul : une grandeur symbolique introduite pour simplifier des formules, puis éliminée à la fin du raisonnement. Mais peu à peu, la pratique algébrique en construit les conditions de légitimation, jusqu’à en faire un objet stable, doté de règles propres et intégré à une structure cohérente, celle du corps des complexes. Autrement dit, l’introduction d’une idéalité n’est jamais une simple institution : il ne suffit pas d’introduire un signe pour qu’il devienne une grandeur mathématique. Il faut qu’il n’engendre pas de contradiction dans le système, et qu’il réponde à un contexte de motivation interne : une nécessité opératoire, issue de la dynamique même du champ mathématique.

 

• Un autre exemple classique est fourni par Dedekind, avec la construction des nombres réels par coupures. Dedekind n’introduit pas ici un nouveau concept ajouté aux précédents, mais une procédure de définition unitaire pour tous les types de nombres : entiers, rationnels, irrationnels, transcendants, donc une réélaboration (généralisation intensionnelle) du concept de nombre. Le “réel” n’est pas une donnée immédiate de l’intuition du continu, mais un corrélat logique d’une méthode de division et d’ordonnancement. Il ne s’agit pas de “découvrir” le continu, mais de le reconstruire rétrospectivement à partir des conditions internes de la théorie. Ainsi, la coupure de Dedekind ne part pas du continu intuitif pour le formaliser : elle produit le concept de réel dans un cadre déjà mathématiquement constitué. Ce que nous appelons “continu” n’est alors qu’une re-thématisation a posteriori, un écho idéalisé de l’opération déductive qui fonde le système des réels.

 

Quel sujet pour les mathématiques ?

Une autre question se pose alors : qui produit les actes de position ? Peut-on même parler d’acte, et renvoyer la constitution de l’idéalité mathématique à l’activité intentionnelle d’un sujet ?

Pour Desanti, il faut presque aller jusqu’à dire que la conscience ne constitue rien : elle est simplement investie par un espace épistémique qui lui préexiste. Le nombre deux, par exemple, et les questions que l’on peut poser à son sujet, n’ont de sens que dans un horizon théorique donné, préalablement intériorisé par la conscience. Autrement dit, la conscience n’institue pas le sens du nombre : elle s’y trouve déjà inscrite, comme dans une région sémantique ouverte par la tradition mathématique elle-même.

Le modèle de la constitution mathématique est donc fondamentalement distinct de celui de la perception. Dans la perception, le sujet identifie progressivement un objet sensible à travers des synthèses passives de ressemblance. Dans la mathématique, au contraire, il s’agit d’une réception active d’un objet déjà livré par la tradition, situé dans un champ de théorisation déterminé. L’objet — par exemple, le nombre deux — est d’abord donné comme tel ; ce n’est qu’ensuite que son sens intra-théorique se précise, selon le contexte, les opérations et les problématiques où il est mobilisé. C’est là seulement que le sujet peut opérer des déplacements, des reconfigurations ou des rethématisations.

Comment le mathématicien, concrètement, reconstitue-t-il, manie-t-il ou réélabore-t-il un objet ? Pour répondre à cette question, Pradelle se réfère à la conceptualité de Desanti dont il propose une restitution.

Desanti part d’une classification dynamique des concepts mathématiques, qui lui permet de décrire la dynamique interne des réélaborations conceptuelles.

Il distingue d’abord les concepts-objets et les concepts-catégoriaux — distinction d’inspiration largement frégéenne, visant à décrire les rapports hiérarchiques entre concepts. Lorsque je pense « 2 » simplement comme une entité déterminée, j’en fais un concept-objet. Lorsque je pense « 2 » comme un nombre entier, je l’inscris sous un concept-catégorial, qui détermine un horizon d’opérations et de relations dans lequel ce “2” prend sens (par addition, multiplication, ordre, etc.).

Desanti propose ensuite de distinguer, au sein des concepts catégoriaux :

• les concepts catégoriaux complets, qui définissent des classes d’objets (comme celui de nombre réel, de fonction continue, ou d’ensemble) ;
• les concepts catégoriaux incomplets, qui désignent des propriétés ou des conditions internes à des domaines déjà constitués (comme la continuité, la dérivabilité, la mesurabilité, etc.).

 

Enfin, parmi les concepts complets, il distingue :

• les concepts naturels, qui renvoient à des objets “élémentaires” et intuitivement manipulables (comme le nombre entier) ;
• et les concepts structuraux, qui désignent des configurations formelles plus abstraites (comme groupe, espace vectoriel ou anneau).

 

Cette classification ne décrit pas un ordre fixe, mais une grammaire des glissements et des rethématisations conceptuelles. Les concepts se déplacent et échangent leurs polarités selon les contextes théoriques : ce qui est structurel dans un cadre peut devenir naturel dans un autre. Ainsi, l’ensemble, d’abord introduit comme un concept structurel à partir de la problématique des réels (un outil pour penser les totalités de nombres), devient progressivement un concept naturel dans les théories ultérieures, où les ensembles constituent le matériau de base de toute mathématique.

Ces évolutions de polarité engendrent les stratifications progressives du champ mathématique : chaque déplacement conceptuel ouvre une nouvelle région d’idéalité, un nouveau plan de constitution interne. Mais ce caractère mouvant du champ conceptuel rend difficile tout réalisme platonicien. Car dans cette perspective, aucune position conceptuelle n’est définitivement fixée : le statut ontologique d’un objet dépend toujours de l’horizon théorique au sein duquel il est posé. Une idéalité mathématique ne se définit pas par son appartenance à un « monde des formes », mais par son inscription dynamique dans un réseau de définitions, de règles et de transformations internes. Ainsi, pour Desanti comme pour Pradelle, la constitution des idéalités est inséparable d’une historicité immanente : le sens de l’objet mathématique se déploie dans le mouvement même de la théorie qui le pense. En celle-ci, « sens et être, concept et objet, ne se laissent pas replier de façon univoque sur l’opposition entre spontanéité et réceptivité, idéalisme et réalisme. »

En conséquence, les mathématiques sont apparues un jour dans l’histoire, mais elles possèdent un être de jure omnitemporel et omnisubjectif : elles valent pour tout sujet et en tout temps. Cet être est pourtant ontologiquement fragile : il dépend de multiples modalités de réactivation et de recontextualisation. Chaque idéalité mathématique se trouve débordée par une pluralité d’horizons. Horizon externe d’idéalités co-posées : dès que j’introduis le concept de triangle, j’ouvre du même coup l’ensemble des figures géométriques possibles avec lesquelles il entre en rapport ; horizon déductif, qui concerne la formation des énoncés corrects, la déduction des propriétés, la construction des démonstrations, horizon problématique, toujours ouvert, des propriétés à déterminer et des relations à explorer ; horizon diachronique et historique ; celui de la stratification et de l’apprentissage (avant Dedekind, il y a Lagrange, Cauchy) ; spectre d’autres idéalités (parler des coupures, c’est déjà impliquer les ensembles)…

Une fois pensé, même vaguement, par quelqu’un, l’objet mathématique est pris dans ce réseau : il devient immédiatement co-référé à des horizons de sens antérieurs et ultérieurs, internes et externes[6].

 

Une phénoménologie indirecte, déprise de tout sol ultime

 

L’idéalisme transcendantal, appliqué aux mathématiques, ne peut donc plus fonctionner comme une réflexivité naïve. La phénoménologie, ici, n’observe pas un sujet pur qui constituerait les objets, mais s’installe médiatement dans un champ intrathéorique, passé ou actuel, en suivant certains fils conducteurs de signification.
Elle ne peut donc pas être seulement descriptive : elle doit être aussi eidétique, c’est-à-dire attentive aux variations de l’eidos lui-même, au devenir du sens à travers ses transformations théoriques. Le sens de la description dépend alors de la forme eidétique du domaine, et ici, cette forme ne peut être saisie qu’indirectement, dans la lignée des néo-kantiens, de Cohen notamment, plutôt que dans le modèle husserlien classique de la donation originaire.

Il faut ainsi se garder de la tentation d’impliquer dans la compréhension des mathématiques tout ce qui les sous-tend (intuitionnisme extrinsèque déjà critiqué dans le précédent ouvrage). Quel rapport, en effet, avec le corps vivant, avec les couches temporelles ou spatiales de l’expérience ? Certes, l’espace vécu et le temps vécu sont opératoirement impliqués dans la genèse du sens mathématique — comme conditions de possibilité de toute activité de formalisation — mais ils ne sont pas thématiquement constitutifs. Ils n’entretiennent avec les idéalités mathématiques que des rapports de préfiguration vague, de motivation lointaine.

On ne peut pas régresser vers un « degré zéro » du mathématique. La mathématique est toujours déjà historique, déjà stratifiée dans une tradition de concepts, de notations et de pratiques.

Mais s’il n’y a pas de fondement absolu, demande finalement Pradelle, existe-t-il néanmoins des tendances au sein de cette historicité des idéalités ? Peut-on décrire le style transcendantal de la mathématique elle-même, non pas comme système clos, mais comme processus de réactivation indéfinie du sens ?

 

Ouverture d’une discussion : le retour oblique du sensible et le sens-se-faisant mathématique

 

Achevons ce parcours en ouvrant une discussion concernant l’invention mathématique elle-même.

Pradelle refuse à raison tout intuitionnisme extrinsèque qui conduirait à chercher, même partiellement, une fondation des objets et activités mathématiques dans les couches temporelles ou spatiales de l’expérience. Il n’existe pas de rapport naïf à l’espace et au temps qui permettrait d’y puiser, même par reconstruction fictive, une matrice originaire du sens mathématique.

 

Restent cependant des questions.

Car les objets mathématiques sont précisément manipulables par l’esprit humain, et le sont d’une façon qui ne se limite pas dans son effectuation au simple raisonnement. On peut à ce sujet se référer au mathématicien Hadamard[7], qui a consacré un essai à l’invention mathématique et y insiste sur le caractère non linguistique et quasi sensoriel de la pensée mathématique. Hadamard décrit plus largement différents styles d’intuition[8]. Il souligne que l’invention mathématique procède souvent d’une saisie totale, non discursive.

Il ne s’agit certes pas là d’intuition au sens phénoménologique – le premier ouvrage l’avait clairement établi. Mais il s’agit néanmoins d’une question, portant sur le mode effectif de maniabilité des idéalités mathématiques, et la texture même des systèmes d’horizons. Comment une forme devient-elle opératoire, comment une notion « prend » dans l’esprit, comment un champ d’objets mathématiques s’instaure-t-il comme habitable ?

Donner un statut transcendantal rigoureux à ces questions en évitant la rechute dans le psychologisme est ardu.  Certains phénoménologues – en particulier Merleau-Ponty et Marc Richir – apportent des concepts féconds pour le faire.

La phénoménologie de Merleau-Ponty a déjà servi de matrice à des travaux portant sur la dimension incarnée de la pratique mathématique. Nous ne la développerons pas ici mais la mentionnons tout de même, car elle constituerait aussi un terrain fécond pour dialoguer avec les apports actuels de la psychologie et des neurosciences[9] – terrain d’ailleurs déjà exploré par des philosophes comme Gilles Châtelet et mathématiciens comme Giuseppe Longo.

Nous insisterons plutôt ici sur les possibilités à notre sens non encore vraiment exploitées ouvertes par certains développements de la phénoménologie de Marc Richir. Celle-ci permet en effet de démanteler le concept encore massif d’acte intentionnel au profit d’un flux de sens se faisant, d’une trame de micro-remplissements et de micro-actes, contaminés par des images, des significativités, parfois vides. La structure richirienne du sens se faisant offre selon nous une voie intéressante pour mieux comprendre phénoménologiquement la façon dont un mathématicien saisit et manipule une idéalité mathématique au sein d’un champ. Elle permettrait peut-être de décrire la façon dont le sujet intègre effectivement les contraintes idéales d’un champ et d’une théorie ; non comme quelque chose qu’il possède mais comme un ensemble de contraintes au sein desquelles il déploie une activité de conscience complexe, diffuse, enchevêtrée, toujours assortie de zones floues et de débord.

Ces micro-actes (ces phantasia-affections, si l’on reprend les termes de Richir) peuvent être très variés :

• se rendre présente une idéalité “comme telle”, en la posant abstraitement dans un horizon de significativité ;
• expliciter un sous-entendu implicite dans un texte ou une démonstration ;
• amorcer une orientation imageante (visualiser la structure d’un raisonnement, une hiérarchie d’ensembles, un graphe de dépendance, etc.) ;
• réviser un angle de lecture, à mesure qu’un sens global émerge.

Ce champ du sens se faisant est selon Richir non seulement inéliminable mais essentiel. C’est dans le frottement entre le champ stabilisé et les actes individuels d’appropriation, intériorisation, figuration, que se jouent la créativité et le développement mathématique.

 

Un dernier blasphème : l’idéalité mathématique et le désir

 

Mais cet élargissement phénoménologique ne suffit peut-être pas.

Nous nous permettrons de clôturer ce texte par une ouverture  issue de questions posées par Pierre Lochak. Pour Lochak, l’essentiel pour comprendre la créativité mathématique n’est pas la fonction psychologique des images ou des concepts mais la façon dont celles-ci sont investies de sens, prises dans des réseaux symboliques, pôles de projections, de désir, de fantasmes.  Pour le mathématicien, dit Lochak, l’objet n’est pas d’abord un possible inscrit dans une structure d’horizons mais une étrangeté attractive et magnétique.

Grothendieck, dans ses écrits autobiographiques (Récoltes et Semailles), décrit son rapport aux concepts mathématiques comme une attirance magnétique pour une réalité désirée, « un pays dont on ne connaîtrait que le nom[10] » pour reprendre les termes de Pierre Cartier. En d’autres termes, le sentiment d’un concept manquant, d’un langage encore à inventer, ou celui d’un objet absent, prégnant par son absence.

Le statut du désir dans ces analyses serait certes à préciser. S’agit-il d’un autre langage ? Ou d’une structure plus originelle à intégrer dans l’analyse phénoménologique ? Selon nous, les deux hypothèses ne s’excluent pas.

 

a) Si l’on adopte la seconde, il s’agirait alors de comprendre la façon dont
le désir déplace et transforme les horizons, refaçonne la topologie du champ où quelque chose comme une visée devient possible. Le désir projetterait dans le champ eidétique des idéalités encore inaccessibles, des “ombres de formes” exerçant un pouvoir d’attraction et de polarisation. Pour opérer un tel déplacement, la phénoménologie husserlienne et surtout richirienne ne seraient pas désarmées.

Alexander Schnell, dans Husserl et les fondements de la phénoménologie constructive, montre ainsi de façon convaincante la façon dont Husserl conçoit la genèse « (…) des motivations et des implications intentionnelles[11] » qui constituent la structure d’horizon à partir de systèmes pulsionnels dont cette structure est en quelque sorte l’extériorisation noématique.

Chez Richir, plus encore, affectivité, hylé, phantasia, significativités vides symboliquement instituées sont les ingrédients originaires du champ phénoménologique : le cadre même du déplacement est donc déjà en place. Richir lui-même a d’ailleurs consacré un certain nombre de développements à Dedekind, Frege, Zermelo, Cantor, qu’il serait impossible de présenter ici, mais auxquels nous nous permettons de renvoyer en note ; la discussion de la question du schème d’individuation chez Dedekind, que nous avons restituée dans un article, ou celle du schème de succession chez Frege, seraient de très bonnes illustrations de points de rencontre et de divergence entre Richir et Pradelle[12].

 

b) Mais Lochak semble plutôt nous orienter vers la première acception. En adoptant le langage du désir, il appelle à entrer dans les formes d’idiosyncrasies et d’élaborations singulières à chaque mathématicien, tout à la fois sensibles et symboliques.

Ce déplacement nous orienterait alors selon Lochak vers d’autres approches (en particulier l’esthétique) plutôt que vers l’épistémologie. Cela peut paraître vague. Une façon de le mettre à l’épreuve serait sans doute d’emboîter le pas à Lochak et de demander ce qu’il veut vraiment dire par exemple lorsqu’il affirme que Grothendieck « fait traverser au mot « espace » la frontière entre l’imaginaire et le symbolique – c’est-à-dire (…) en a fait un signifiant au sens lacanien[13] » ; d’expliquer ce que des structures comme les schémas ou les topos font au concept ou à l’intuition d’espace, et à ce que la langue phénoménologique peut dire de ce passage.

Un chantier immense, mais qui apparait lui-même comme une image signifiante, un objet encore indistinct, autour duquel nous sommes invités à reconstituer un horizon.

 

Synthèse générale

 

Au terme de ce parcours, reformulons les acquis principaux des deux ouvrages de Pradelle et ce qu’ils déplacent dans le champ de la phénoménologie des mathématiques.

Le premier apport concerne le concept de remplissement.

En montrant que le remplissement en mathématiques est discursif, démonstratif, et intra-théorique, que la signification s’y remplit dans son propre champ, par d’autres significations, Pradelle libère la phénoménologie des mathématiques  du paradigme perceptif. Ce déplacement transforme le sens même de ce que « se donner » veut dire dans le champ formel. L’évidence mathématique, de vision, devient  travail, construction de la preuve, qui fait apparaître la validité interne d’un réseau de significations.

Le second apport concerne la constitution des idéalités.

En reprenant et en radicalisant les analyses de Desanti, Pradelle montre que le rapport entre horizon interne et horizon externe se renverse dans le champ mathématique : l’individuation de l’objet n’y procède pas de ses propriétés intrinsèques mais de ses relations avec d’autres idéalités. Ce holisme de la constitution, articulé à l’historicité des formes de validité, conduit Pradelle à une phénoménologie qui ne décrit pas des donations originaires mais reconstitue, de l’intérieur d’un champ théorique historiquement situé, les conditions sous lesquelles un objet acquiert sa consistance et sa maniabilité.

Nous suggérons toutefois que la phénoménologie des mathématiques ainsi redéfinie appelle des prolongements dans au moins deux directions.

 

• D’une part, vers des mathématiques plus contemporaines que celles auxquelles Pradelle se réfère, afin de comprendre les mutations que celles-ci ont amené, en matière d’usage et de construction de la preuve, de dégagement de structures, et surtout de transports de termes et de concepts. L’espace épistémique dont parle Pradelle demeure à élucider dans sa texture effective, au contact de la pratique mathématique vivante.

 

• D’autre part, vers la question du sujet mathématicien et de ce qui le meut. En effet, le remplissement discursif rend compte de ce qui stabilise et valide les objets mathématiques ; il ne rend pas compte de ce qui les fait naître, par esquisses, déplacements, solidifications.

 

Pour apporter des éléments de réponses à ces questions, la phénoménologie elle-même aura sans doute à enrichir sa langue, déplacer ses termes, constituer et « durcir au feu » de nouvelles « métaphores conceptuelles ».

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[1] https://www.actu-philosophia.com/entretien-avec-pierre-lochak-mathematicien-et-philosophe/. Cf aussi Y. I. Manin, Les Mathématiques comme métaphore. Essais choisis, préface de F. J. Dyson, postface de P. Lochak, trad. C. Vajou, Paris, Les Belles Lettres, 2021.

[2] https://www.actu-philosophia.com/entretien-avec-pierre-lochak-mathematicien-et-philosophe/

[3] https://www.actu-philosophia.com/entretien-avec-pierre-lochak-mathematicien-et-philosophe/

[4] https://www.actu-philosophia.com/entretien-avec-pierre-lochak-mathematicien-et-philosophe/

[5] Sur ce sujet on pourra lire aussi la lecture que Marc Richir propose de l’Origine de la géométrie de Husserl dans La crise du sens et la phénoménologie, Grenoble, Jérôme Millon, 1990, et le commentaire que nous en proposons : cf. Florian Forestier, « Marc Richir, le réel et la question de l’idéalité », dans S. Arrien, J. Hardy et J. Perrier (dir.), Aux marges de la phénoménologie : Lectures de Marc Richir, Paris, Hermann, 2019.

[6] Ici encore, une discussion avec la thèse de Lochak évoquée plus haut s’imposerait.

[7] Jacques Hadamard, Essai sur la psychologie de l’invention dans le domaine mathématique, Librairie scientifique Albert Blanchard, Paris, 1959,. Édition française revue et augmentée par l’auteur, traduite de l’anglais (An Essay on the Psychology of Invention in the Mathematical Field, Princeton, 1945).

[8] Je peux en témoigner à partir de ma propre (et modeste) expérience : élève en classes préparatoires scientifiques, j’étais assez intuitif dans les domaines de l’analyse, des suites, et plus encore de l’arithmétique. J’avais une certaine aptitude à me donner des schèmes — non pas en répétant mécaniquement une opération, mais en me forgeant une vision d’ensemble, une forme anticipée de la situation qui me permettait de comprendre rapidement comment décomposer un problème ou le transformer en un autre. En revanche, j’éprouvais de grandes difficultés à faire de même avec l’algèbre et les espaces vectoriels. Là, les gestes intuitifs me manquaient : le formalisme me dérobait tout point d’ancrage perceptif, toute possibilité d’orienter les objets. Il me fallait parvenir à saisir la dynamique d’un espace vectoriel, à comprendre ce que la définition formelle autorisait à concevoir d’un espace donné ou d’une famille d’espaces possibles. Je voyais par ailleurs que mes camarades ne fonctionnaient pas tous de la même manière. Certains semblaient avoir besoin de très peu d’intuition : ils parvenaient à manipuler le formel sans l’incarner, par la simple maîtrise des règles et des définitions. D’autres, au contraire, usaient d’intuitions, mais semble-t-il dans d’autres registres.

[9] Les études contemporaines en neurosciences (Dehaene) fournissent un matériau que la phénoménologie ne peut certes pas reprendre comme tel, mais avec lequel une discussion latérale peut être tentée pour mieux comprendre les processus par lesquels des objets complexes émergent intrathéoriquement et se partagent et se stabilisent. Certaines montrent ainsi que l’intuition mathématique engage préférentiellement les zones pariétales et frontales, également mobilisées dans les tâches visuo-spatiales et motrices. Autrement dit, la pensée mathématique, même dans ses formes les plus abstraites, reste liée à des structures d’espace et de mouvement. De manière plus générale, les neurosciences computationnelles et dynamiques en effet décrivent aujourd’hui l’activité cérébrale comme des trajectoires dans des espaces d’états de grande dimension, où des patterns d’activation peuvent se stabiliser sous forme d’attracteurs (Hopfield, Amit ; Churchland, Shenoy). Certains auteurs (Lakoff & Núñez, Gärdenfors) ont proposé de penser les concepts abstraits, y compris mathématiques, comme des régions ou des configurations dans des espaces conceptuels multidimensionnels structurés par des schèmes topologiques. Concernant les liens précis de ces recherches aux mathématiques, Jean Petitot est peut-être celui qui va plus loin. Il postule en effet que les conditions de possibilité de l’intuition des objets mathématiques reposent sur des structures morphodynamiques cérébrales dont la topologie rendrait intelligible le fait que certaines formes mathématiques sont « naturelles » pour nous. Concernant la traduction de résultats ou d’hypothèses issues de la psychologie en phénoménologie, la méthode à adopter serait une adaptation de la neuro-phénoménologie de Varela cherchant à établir des homologies structurales entre problèmes et expériences, afin de poser des contraintes méthodologiques réciproques de façon à ce que les données des neurosciences nous aident à nous orienter dans la texture des conditions de maniabilité subjective des idéalités. Cet exercice devrait cependant demeurer hypothétique et heuristique : les données positives servant à orienter l’attention du phénoménologue vers certains phénomènes ou certaines constellations de phénomènes, en laissant celui-ci les ressaisir avec sa méthode propre.

[10] P. Cartier, « Un pays dont on ne connaîtrait que le nom », dans P. Cartier, N. Charraud (dir.) Le réel en mathématiques, Paris, Agalma, 2004.

[11] A. Schnell, Husserl et les fondements de la phénoménologie constructive, Grenoble, Jérôme Millon, 2007, p. 209.

[12] M. Richir, Recherches phénoménologiques IV et V, Du schématisme phénoménologique transcendantal, Bruxelles, Ousia, 1983 ; M. Richir, « Une antinomie quasi-kantienne dans la fondation cantorienne de la théorie des ensembles », Études phénoménologiques, Phénoménologie et sciences exactes, 1986, n°3 ; « L’Hérédité et les nombres – Pour une fondation transcendantale de l’arithmétique (à propos de Frege : die Grundlagen der Arithmetik) », La liberté de l’esprit n°4, 1983. Cf. aussi L. Tengelyi « Nombre transfini et apparence transcendantale : Richir sur Kant et Cantor », L’expérience retrouvée, Paris, L’Harmattan, 2006 ; F. Forestier, « mathématiques et concrétudes phénoménologiques », Annales de phénoménologie n°11/2012, et « Intuition et invention mathématiques », Eikasia, Revista de Filosopfia, 2016.

[13] https://www.actu-philosophia.com/entretien-avec-pierre-lochak-mathematicien-et-philosophe/